Compreensivelmente, isso é extremamente frustrante. A maioria dos provedores de e-mail tem alguma forma de detecção e etapas adicionais de segurança ao fazer login a partir de um local que difere significativamente do último.
Isso aconteceu comigo várias vezes e geralmente resolvi o problema configurando os endereços de backup e as questões de segurança. Se você não tem nenhum dos dois, o provedor terá dificuldade em oferecer-lhe alguma maneira de provar que é de fato você. Ainda assim, às vezes os aros são difíceis de pular, pois cada serviço pode pedir que você confirme sua identidade usando o outro, mas ter dois serviços de e-mail pode ajudar. Se eles suportarem o encaminhamento automático, você poderá garantir que ambas as contas tenham todos os seus e-mails. Eu fiz isso e funciona, pelo menos, muito bem com o GMail.
A maneira melhor e mais confiável é usar uma VPN. Existem muitos provedores de serviços para escolher, a maioria deles por uma taxa mensal, digamos de US $ 5 a 25 por mês, dependendo dos recursos e restrições. O ponto é que você configura sua máquina ou cliente de e-mail para se comunicar através da VPN, que acessa seu e-mail a partir de um local fixo. Dessa forma, o provedor sempre vê o acesso do mesmo IP ou local pelo menos.
Embora eu não tenha tentado isso em muitos locais, não tenho certeza se isso funcionará ou não (pode depender do serviço) em locais onde o acesso à Internet é altamente restrito, como Cuba, partes da China etc.