Você não ganharia exaustão
Se você ganhar imunidade a uma condição, essa condição termina. Jeremy Crawford faz esta declaração sobre as condições:
In [D&D], the exceptional trumps the general. (No longer being a valid target trumps condition carryover.)
Já que você não é mais válido para exaustão, qualquer exaustão é removida e você não pode adquirir exaustão.
Multiataque
Você pode, de fato, fazer o ataque slam ou touch com isso como uma ação de bônus. Ataques com armas naturais ainda contam como ataques de armas brancas, apesar das armas naturais não se qualificarem como armas em si.
Você não pode, no entanto (como você percebe), tomar a ação de multiattack, pois não é um ataque de arma branca.