Você sempre faz check-in com a operadora operadora do primeiro voo. No seu caso, isso seria a British Airways. Isto é verdade tanto para o check-in online como para o aeroporto / despacho de bagagem / etc.
O que acontece depois disso pode variar.
Dependendo das operadoras envolvidas, de suas políticas e de seus sistemas de computação, a primeira operadora poderá fornecer cartões de embarque para todos os voos ou poderá fornecer apenas um / alguns. Os voos para os quais você pode fazer o check-in podem ser os mesmos on-line que no aeroporto ou podem fazer o check-in para voos adicionais no (primeiro) aeroporto.
Em alguns casos, se a primeira operadora não puder fazer o check-in / dar cartões de embarque para os voos subsequentes, você poderá fazer isso on-line com a operadora operadora do voo em questão. Por exemplo, recentemente voei com a United Airlines conectando-me à Oman Air. A United não pôde me fazer o check-in para o vôo de conexão, mas eu consegui fazer isso sozinho online (no site da Oman Air) sem problemas.
No seu caso específico, todas as transportadoras são companhias aéreas OneWorld, portanto, há uma boa chance de a transportadora inicial (BA) poder lhe dar todos os cartões de embarque, mas se não, basta ir ao balcão de transferência em Helsinque e / ou Osaka e eles poderão lhe dar os cartões de embarque para os vôos de conexão. Você será capaz de verificar suas malas até o seu destino final, embora eu suspeite que você precise coletá-las em Osaka como seu primeiro ponto de entrada no Japão.