A imagem ajuda muito. O segundo fio branco está vindo do interruptor, e ele deve ter sido envolvido com fita isolante preta para indicar que estava realmente fazendo o papel de um fio preto. Determine qual branco vem do switch e esse é o fio "preto".
O problema é tão simples quanto conectar os novos brancos ao fio branco e os novos pretos ao preto.
A seguinte imagem é o que você tem, exceto no lado da luz, eles conectaram os fios pretos juntos e ambos os brancos estão indo para a lâmpada.
Para determinar qual fio vai para o switch, você precisará de um testador de voltagem. Desligue o disjuntor no circuito e no interruptor da luz e remova cuidadosamente a porca do fio dos fios pretos na caixa da lâmpada. Certifique-se de que os fios não estejam tocando em nada e ligue o disjuntor novamente. Usando o seu medidor de voltagem, toque nos fios pretos torcidos com uma sonda e cada fio branco indo para a lâmpada. O fio branco que mostra 120v é o fio branco real que vem da caixa do disjuntor. O outro fio branco será o fio "preto" vindo do interruptor. Desligue o disjuntor e torça a porca do fio novamente. Seja super cuidadoso ao medir a tensão com o disjuntor ligado.