Sim

Em D & D 5e, uma regra significa o que diz e não mais (a menos que o DM decida de outra forma, o que eles têm sempre o direito de fazer). Pela descrição do Hex Warrior na pergunta:

Whenever you finish a long rest, you can touch one weapon that you are proficient with and that lacks the two-handed property.

Uma lança não possui a propriedade de duas mãos e se qualifica para este requisito, mesmo que você deva utilizá-la com duas mãos quando não estiver montada.

Jeremy Crawford governou da mesma forma na situação do monge empunhando um quarterstaff em duas mãos, apesar das armas com o propriedade de duas mãos sendo proibida da categoria de armas de monge:

Yep! The prohibition is against a weapon with the two-handed property, not against using a weapon with two hands.

O Mestre, é claro, está sempre livre para decidir o contrário, particularmente em situações como esta, onde pode fazer sentido fazê-lo.

Não sabemos e, na verdade, este é um convite para o seu mestre.

Como você disse, as regras, conforme escritas, não incluem a propriedade de duas mãos na lança (mesmo quando não está montada, se você quiser ser realmente técnico). Eles poderiam facilmente tê-lo incluído; não está claro por que eles não Algo como

\begin{array}{l l l c l} \textbf{Name} & \textbf{Cost} & \textbf{Damage} & \textbf{Weight} & \textbf{Properties} \ \text{Lance} & 10\text{ gp} & 1\mathrm{d}12\text{ piercing} & 6\text{ lb.} & \text{Reach, special, two-handed} \ \end{array}

Special Weapons

Lance: You have disadvantage when you use a lance to attack a target within 5 feet of you. Also, a lance loses the two-handed property while mounted.

seria muito claro e explícito sobre o que é a arma; nós ainda não teríamos 100% de certeza a menos que Hex Warrior abordasse isso diretamente, mas daria evidências muito mais strongs.

O fato de que eles não fizeram isso ... não é realmente muito útil de qualquer forma. O Manual do Jogador foi escrito em primeiro lugar, afinal, eles podem não ter percebido a necessidade de serem tão específicos. Mas, considerando como as coisas estão, nós simplesmente não sabemos se eles pretendem ou não que Hex Warrior trabalhe com lanças.