Existe um argumento físico para o teorema de Kutta-Joukowski?

Question

Existe um argumento físico para o teorema de Kutta-Joukowski?

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Estou fazendo o seguinte exercício:

Consider inviscid, incompressible, steady flow. The Kutta-Joukowski theorem $$L' = \rho_\infty V_\infty\Gamma$$ where

$L'$ is the lift per unit span

$\rho_\infty$ is the freestream pressure

$V_\infty$ is the velocity

$\Gamma$ is the circulation taken around the body

was derived exactly for the case of the lifting cylinder. Equation $L' = \rho_\infty V_\infty\Gamma$ also applies in general to a $2$-dimensional body of arbitrary shape. Although this general result can be proven mathematically, it also can be accepted by making a physical argument as well. Make this physical argument by drawing a closed curve around the body where the closed curve is very far away from the body, so far away that in perspective the body becomes a very small speck in the middle of the domain enclosed by the closed curve.

E aqui está a solução do autor:

The flow over the airfoil can be syntheized by a proper distribution of singularities, i.e, point sources or vortices. The strength of vortices, added together, give the total circulation, $\Gamma$, around the airfoil. This value of $\Gamma$ is the same along all the closed curves around the airfoil. In this case, the airfoil become a speck on the page, and the distributed point vortices appears as one stronger point vortex with strength $\Gamma$. This is exactly equivalent to the single point vortex for the circular-cylinder case, and the lift on the airfoil where the circulation is taken as the total $\Gamma$ is the same as for a circular cylinder, namely, equation $L' = \rho_\infty V_\infty\Gamma$.

Figura do autor:

Eu entendo a solução do autor até a parte que dizia:

the lift on the airfoil where the circulation is taken as the total $\Gamma$ is the same as for a circular cylinder.

A equação $ L '= \ rho_ \ infty V_ \ infty \ Gamma $ é derivada do caso de cilindro circular, que temos que fazer a integral da distribuição de pressão sobre a superfície do cilindro. Mas eu não entendi porque o elevador no aerofólio é o mesmo para um cilindro circular como o autor disse.

aerodynamics flow

por Dat 27.08.2017 / 13:27

2 respostas

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A pergunta feita no título é um dos grandes debates da disciplina de aerodinâmica (e você pode ver pelo número de vezes que eu editei essa resposta que ela ainda está pulando na minha própria cabeça). Se você chegou até aqui em Anderson e está fazendo esse tipo de pergunta, você deve ler McClean . As primeiras páginas de 300 ou mais dedicam-se basicamente a responder a essa mesma pergunta. Basicamente: Sim, há um argumento físico (ver resposta e Anderson 4.5) de Peter Kämpf, mas dizendo que causado pela circulação é muito extenso (o que Anderson observa na seção 3.16).

Deixe-me voltar ao seu exemplo específico. Infelizmente, acho que Anderson está tentando forçar a matemática na física, em vez de começar com a física e descrever por que a matemática é uma boa representação (como McClean se propõe a fazer desde o início). "Faça este argumento físico traçando uma curva fechada ao redor do corpo ..." basicamente nos diz para fazer um argumento físico usando primeiro uma construção matemática, o que para mim não esclarece realmente a física. Além disso, devemos estar pensando em distâncias infinitas (não úteis fisicamente), uma "partícula em uma página" (que não tem nada a ver com o fluxo de ar), e realmente apenas usar $ \ Gamma $ (que é definido como puramente matematicamente) em vez de descrever um campo de fluxo físico. Em suma, o mais próximo de um argumento "físico" aqui é dizer mais ou menos que duas coisas parecem as mesmas quando vistas de longe. Essa explicação não parece convincente para mim. Se você colocar muitos pequenos vórtices ao redor do perfil de uma vaca e depois reduzi-los a uma "partícula na página", a vaca gerará o mesmo levantamento que um aerofólio? Para chegar à geração física de sustentação, precisamos permanecer perto dos corpos de levantamento e determinar por que suas geometrias específicas criam campos de fluxo que produzem sustentação. (Considere, por exemplo, por que precisamos de uma condição de Kutta em um aerofólio, mas não em um cilindro.)

Na verdade, a prova matemática (baseada no mapeamento conformal ) usa o mesmo argumento "físico" básico que Anderson faz. O mapeamento conformacional tende a ser mais um tópico de nível de pós-graduação, por isso, tenha cuidado ao sentir que precisa entender toda a matemática subjacente nesse ponto.

Em resumo, Anderson não faz um bom trabalho aqui explicando fisicamente porque o aerofólio tem o mesmo levantamento que o cilindro. Se você realmente quer entender a física, leia McClean. O argumento "físico" de Anderson é na verdade apenas um argumento matemático resumido.

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Em uma palestra que assisti, o autor fez o convincente argumento de que somente quando o teorema de Kutta-Joukowski é cumprido, o fluxo do aerofólio será paralelo à direção do bordo de fuga. Todos os outros valores de $ \ Gamma $ resultariam em fluxos que tentam fluir em torno da borda de fuga, e isso seria fisicamente impossível sem separação. Se alguém tentasse calcular o fluxo que segue o contorno de um bordo de fuga regular, seria necessária a sucção de uma magnitude que não poderia ser criada nem mesmo por um vácuo. Somente cumprindo o teorema de Kutta-Joukowski poderia ser descrito matematicamente o fluxo fisicamente observável.