What happens at a border when you need an additional stamp, but don't
have empty pages, or even no free space left?
Isso depende dos procedimentos de entrada na fronteira.
Em quase todos os postos de fronteira, o seu passaporte tem que ser carimbado; esse selo é verificado mais tarde em vários pontos de verificação. Este carimbo é a sua prova de entrada legal no país ou território. Este carimbo é obrigatório mesmo que você tenha uma autorização de viagem válida para o país de destino; Portanto, a maioria das portas negará sua entrada se o seu passaporte estiver cheio.
No entanto, alguns países possuem procedimentos "e-gate". Isso significa que você pode cruzar a fronteira sem levar um passaporte. Em vez disso, você viaja com seu ID de país e os dados biométricos são verificados para registrar sua entrada. Obviamente, aqui você não precisa de um passaporte, então o requisito de página gratuita também é discutível.
Mesmo com portas ativadas para o e-gate, é sempre recomendável levar seu passaporte e ter páginas livres. Isso é para garantir que, caso o e-gate esteja em manutenção, você ainda poderá atravessar a imigração.
O mais popular posto de fronteira habilitado para e-gate para o qual eu já estive é o Aeroporto Internacional de Dubai (OMDB); onde há faixas de e-gate dedicadas que são completamente automatizadas (nenhum funcionário de imigração).
Além disso, os cidadãos do GCC (Conselho de Cooperação do Golfo) podem viajar pelos países membros do GCC se tiverem um cartão de identificação digital. Nesse cenário, um passaporte não é necessário.
Alguns países oferecem um "livro de carimbos" separado se você viajar com frequência. Este livro é para se certificar de que você não encher o seu passaporte durante os trânsitos frequentes. Eu usei esse livro quando morava na Arábia Saudita e estudava no Bahrein. Você precisa do livro e do passaporte. O passaporte tem o visto, mas o oficial de imigração vai carimbar o livro.
Alguns países oferecem aos seus cidadãos passaportes com páginas extras a custos nominais; você pode solicitar isso no momento da renovação do passaporte.