Depende inteiramente do propósito e do país. Por exemplo, na Holanda, uma carteira de motorista européia é um ID completamente válido e pode ser usada, por exemplo, para votar. Na França, não há lista exaustiva do que conta como ID, portanto, não há motivo para que a carteira de motorista não seja aceita pela polícia (ver esta pergunta em expatriados.SE para um prolixo discussão deste caso específico). Em outros lugares, pode não ser considerado um ID válido e as organizações privadas em todos os lugares (por exemplo, bancos) também podem ter outros requisitos.
O problema é que, para viajar internacionalmente, você precisa de mais do que ID, precisa de algo para estabelecer sua cidadania e provar seu direito de entrar no país de destino. Uma carteira de motorista não é suficiente para isso. Do mesmo modo, se quiser utilizar o seu direito à livre circulação como cidadão da UE, precisa de algo que estabeleça que é de facto um cidadão da UE e que algo é tipicamente um passaporte ou um bilhete de identidade nacional. Se você viaja por terra, você pode se safar de não ter um em você, mas embarcar em um avião geralmente é mais difícil.
Uma vez eu fui autorizado a fazer um vôo interno de Schengen com apenas uma carteira de motorista e alguns outros documentos como um cartão de seguro de saúde do meu país de destino (depois de perder meu ID), mas acho que era apenas a pessoa na mesa Dobrando as regras e contando com o fato de que não haveria nenhum cheque na outra extremidade (nós fomos para a mesa assim que percebemos que a ID estava faltando, não tínhamos a intenção de apenas mostrar uma carteira de motorista ao embarcar).
Por fim, os países da UE reconhecem os cartões de identidade nacionais uns dos outros, portanto, a menos que você seja cidadão de um dos países que não os emite (Dinamarca, Reino Unido), não precisa de mais nada e é verdade de largura (não apenas no espaço Schengen, também no Reino Unido, Irlanda, Bulgária, Roménia, Croácia, Chipre, EEE ou Suíça, mas não necessariamente noutro local da Europa).