Sith são um pouco ... desequilibrados :), mas para alegar que o Conde Dooku (um dos mais sensatos Sith Lords, com claro objetivo ideológico) tinha desordem de personalidade dividida é um pouco exagerado :)
Em uma nota séria, todo o Banite A Ordem dos Senhores Lordes operou sob o princípio do sigilo. Além do Mestre e Aprendiz, muito poucas pessoas tinham informação suficiente para conectar a identidade Sith com a verdadeira identidade pública de Sith. Dooku não era exceção desta regra, apenas Sith verdadeiro (se você considera Maul como apenas um assassino) que revelou seu nome Sith era Darth Vader. E ele tinha uma razão específica para isso - tentando esconder e matar seu antigo eu.
Quanto à pergunta que identidade era mais importante para Dooku, IMHO ele era orgulhoso de Serenno nobre até o amargo fim. Sua personalidade Sith e participação na Ordem Sith era apenas uma ferramenta para alcançar seus objetivos políticos.