Can either end of a Rope of Climbing be commanded to attach - or just the end opposite to what you are holding?
Parece-me que as regras que você citou são bastante claras de que apenas a outra extremidade pode se mover ou apertar. Ênfase adicionada:
If you hold one end of the rope and use an action to speak the Command Word, the rope animates. As a Bonus Action, you can Command the other end to move toward a destination you choose...You can also tell the rope to fasten itself securely to an object or to unfasten itself, to knot or unknot itself, or to coil itself for carrying.
Suas outras perguntas:
After animated - can you let go of the rope after it is animated or do you have to hold it the whole time?
Isso é um pouco mais obscuro, mas acho que, como está escrito, comandar a corda requer que você segure uma extremidade e use a palavra de comando. Se você deixar ir, você não atende mais às condições iniciais para dar comandos.
Even if you have to hold it to command it - could you command either end to fasten to something? (Thus ensuring a “magically” secure attachment at both ends.)
Em nenhum lugar nas regras para este item diz que o nó é "mágico". A corda é mágica na medida em que pode se mover e se enrolar, mas, como está escrito, qualquer um seria capaz de desatar esse nó.