Isso às vezes é possível, mas somente se os dois países tiverem um acordo para fazê-lo e, até onde eu sei, esse não é o caso da Holanda e da Itália nos EUA.
Tais acordos estão ficando mais comuns, mas muitas vezes são entre países vizinhos (por exemplo, o Benelux, países nórdicos) e em lugares onde o país de destino não tem qualquer representação. Você não pode geralmente aplicar a qualquer consulado de qualquer país Schengen.
Neste caso específico, os Países Baixos têm uma embaixada em Washington e parece que não é possível aplicar em outro lugar . Você ainda pode perguntar à embaixada para ver se algum outro arranjo é possível, mas não parece.