O pedido é "Aviate, Navigate, Communicate".
Como piloto, sua primeira responsabilidade é manter o avião voando. Depois disso é para evitar bater em algo ou evitar se perder. Depois disso vem a comunicação. Há muitos casos de emergências em vôo em que os pilotos nunca conversaram com ninguém sobre isso, porque estavam ocupados pilotando o avião ...
According to FAA, is it required to detail/explain (maybe file some kind of official document) your emergency to some kind of authority?
A FAA tem muitos procedimentos para relatar acidentes, incidentes e emergências. Se você relata ou não depende de qual foi a emergência. Se for um passageiro muito doente, pode não haver necessidade de notificação. Se os cabos de controle falharem, você é obrigado a denunciá-lo. Eu atualizarei esta resposta com os regulamentos assim que eu os achar todos. A resposta rápida é sempre que você declarar uma emergência ou "PAN-PAN", ligue para o FSDO e informe. Também dependendo da natureza do acidente / incidente, você pode ser obrigado a imediatamente notificar o NTSB. Veja CFR 49 830,5
If you do have to file an explanation, what information do you have to supply?
Isso depende novamente da natureza da emergência e o FSDO / NTSB solicitará as informações adequadas quando você arquivar o relatório. No mínimo, eles provavelmente vão querer uma narrativa do que aconteceu e, dependendo do que aconteceu, você pode entrar em contato com seu advogado primeiro. (Nota: Você pode ter que entrar em contato com o NTSB imediatamente mas ele não diz que você precisa fornecer detalhes, apenas que houve um incidente, então o NTSB seria sua primeira chamada "Eu tive um incidente ", curto e doce, e o segundo advogado.)
Also what would happen if they "didn't believe" that situation was an emergency?
Não é responsabilidade do ATC determinar se você está mentindo ou não. Quando você, como piloto, diz "emergência", você tem toda a atenção deles. Depois que você chega ao chão e a emergência acaba por ser que você esqueceu de ligar para sua namorada / esposa e queria ficar à frente de outro tráfego, então a FAA vai se envolver. Até que você esteja no solo, uma emergência é tratada como prioridade, independentemente do motivo.
Aqui você pode ler uma boa história sobre um piloto estúpido que abusou do sistema de "emergência" ao aterrissar em uma praia pública em Nova York por causa de um passageiro airsick e um motor que estava "correndo um pouco áspero". Ele não declarou oficialmente uma emergência, e não consigo encontrar nenhum registro de ação oficial contra ele por fazer isso. Observe que o NTSB não investigou esse "incidente".