Você escreveu:
On a flat map, point A might be to point B at, say, heading 060. [...] Is there a formula to determine the optimum heading at the outset (even though it may not 'seem' correct), thereby, reaching the desired point B on the globe at the end of the cruise?
Como foi escrito na outra resposta, não é assim que grandes distâncias são percorridas, pois as aeronaves seguem grandes círculos por uma distância mínima. Mas se você quiser voar em uma direção constante desde o início, isso pode ser feito:
Imagine, você tem um desses globos iluminados e o coloca em um cilindro de papel, de tal forma que o cilindro toca o equador em todos os lugares. Todos os contornos da terra são projetados contra o cilindro, e você pode refazê-los com uma caneta. Desdobre o cilindro e você obtém uma projeção do mercator :
Matematicamente, isso pode ser calculado por esta conversão de coordenadas terrestres:
$ x = \ text {< longitude >} $
$ y = \ mathop {\ rm arsinh} (\ tan (\ texto {< latitude >})) $
e desenhando isto em um sistema de coordenadas onde o comprimento da unidade é igual para x e y. (os rótulos no eixo y não são coordenadas y, eles denotam a latitude.)
Como você vê, a face da terra está verticalmente deformada e o tamanho dos continentes não é preservado. Por exemplo, a Groenlândia parece ser do mesmo tamanho que a África, embora na verdade seja apenas 7%. Além disso, as distâncias não são preservadas.
MAS: Ângulos são preservados!
Desenhe uma linha reta de sua localização para qualquer destino e leia o ângulo entre essa linha e as linhas verticais. Siga este cabeçalho e você chegará ao seu destino. Matematicamente, você pode determinar o curso de acordo com a seguinte fórmula, mas tenha em mente que a função arctan nem sempre lhe dá a fórmula correta. Você precisa saber se você tem que voar NE, SE, SW ou NW e aplicar este valor. (Pode ser feito automaticamente com mais matemática também.)
$$ \ alpha = \ arctan \ frac {x_ {dest} -x_ {afastar}} {y_ {dest} -y_ {afastar}} $$
Como dito acima, as distâncias não são preservadas. Estas linhas retas não são de longe as rotas mais curtas e os seus passageiros irão reclamar do longo voo, bem como da sua companhia aérea sobre todo o combustível queimado ...
EDITAR:
Para responder à pergunta no comentário:
Em uma projeção padrão de mercator como acima, somente trilhas norte-sul puras, assim como trilhas no equador, estão em grandes círculos e, portanto, o caminho mais curto.
Claro, você pode colocar o cilindro de papel em torno do globo em outra orientação, por exemplo, tocar o meridiano 0 ao invés do equador. Desta forma, você obtém a projeção do mercator, que é assim:
(por Lars H. Rohwedder, link )
Neste mapa, linhas horizontais retas ficarão em grandes círculos, mas o rumo (ângulo para meridianos) mudará durante o vôo.
Você também pode usar outras orientações arbitrárias para o cilindro, como esta projeção de 45 ° , parecendo ainda mais esquisito.
No entanto, se você estiver procurando por um cabeçalho constante e não se importar com a distância, a projeção padrão do mercator dá a resposta.
