Não, o dragão é ilusório

Dragão ilusório diz:

The illusion lasts for the spell’s duration and occupies its space, as if it were a creature.

Aí mesmo no topo da magia, define o que a magia cria: uma ilusão que age de uma maneira como uma criatura (ocupando seu espaço). Em todos os outros aspectos, é uma ilusão, como descrito no resto do feitiço. Também é descrito em todas as outras instâncias da magia como uma "ilusão" e nada mais.

Quando uma mágica cria uma criatura, eles a chamam de criatura. Por exemplo, fantasma steed diz:

A Large quasi-real horse-like creature appears. [...] The creature uses the statistics for a riding horse, except it has a speed of 100 feet.

Note que ele chama de criatura e fornece estatísticas. Nenhum lugar em dragon ilusório faz isso.

Então, o dragão é puramente uma ilusão (embora mais física do que a normal). Assim, as respostas para suas perguntas específicas são:

1. Não, o teleport requer criaturas ou objetos como alvos. Uma ilusão não é nem.
2. Não, uma montaria deve ser "uma criatura disposta".

Dragon Illusory especificamente não é uma criatura

É referido repetidamente como uma ilusão ao invés de uma criatura (XGtE, pgs. 157-158):

By gathering threads of shadow material from the Shadowfell, you create a Huge shadowy dragon in an unoccupied space that you can see within range. The illusion lasts for the spell's duration and occupies its space, as if it were a creature.

When the illusion appears, any of your enemies that it can see must succeed on a Wisdom saving throw or become frightened of it for 1 minute. If a frightened creature ends its turn in a location where it doesn't have line of sight of the illusion, it can repeat the saving throw, ending the effect on itself on a success.

As a bonus action on your turn, you can move the illusion up to 60 feet.

Compare isso com o Phantom Steed, como você mencionou na sua pergunta (PHB, pg. 265):

A Large quasi-real horse-like creature appears. You decide its appearance, but it is equipped with a saddle, bit, and bridle. Any of the equipment created vanishes it is carried more than 10 feet away from the steed.

For the duration, you or a creature you choose can ride the steed. The creature uses the statistics for a riding horse, except it has a speed of 100 feet.

No entanto, o Dragão Ilusório pode ser alvo de ataques, embora eles automaticamente erram / sempre consigam testes de resistência e sejam imunes a danos.

The illusion is tangible because of the shadow stuff used to create it, but attacks miss it automatically. it succeeds on all saving throws, and it is immune to all damage and conditions.

Para que isso faça sentido, deve-se seguir que ele pode ser alvo de ataques e magias, mesmo que não seja uma criatura.