Infelizmente, se o consulado alemão que cobre sua área não puder oferecer uma entrevista ou emitir um visto a tempo, não há muito o que fazer. Você sempre pode tentar entrar em contato com alguém no consulado para ver se ainda há alguma maneira de marcar um compromisso, mas parece improvável que ele faça uma exceção.
Você também pode tentar entrar em contato com a companhia aérea e esperar que ela reembolse o ingresso, mas é provável que eles não precisem (as condições de transporte normalmente especificam que garantir todos os vistos necessários é de responsabilidade do passageiro).
Alternativamente, você pode tentar alterar sua conexão para ter apenas uma parada na área de Schengen (por exemplo, encontrar voos diretos de Chicago para Frankfurt e de Frankfurt para Nova Délhi ou até mesmo para outro destino dos EUA ou da Índia). Provavelmente vai custar-lhe mais e terá de pagar algumas taxas de alteração em cima do preço do bilhete, mas poderá poupar a sua viagem e evitar perder todo o dinheiro que já pagou. Como você ainda estaria voando com a Lufthansa, eles podem estar mais dispostos a acomodá-lo.
Se você tiver apenas uma parada em um aeroporto alemão e vôos diretos fora da área de Schengen, você não precisará de visto se tiver um visto válido nos EUA.