Bem, eu não consegui encontrar uma maneira, então eu realmente solicitei um visto brasileiro e voei para lá, já que os voos dentro e fora do Brasil são uma exigência para obter o visto.
Ainda assim, para acabar com essa questão, finalmente descobri a informação que não era tão difícil de encontrar, uma vez que tomei algumas lições em português brasileiro. O site oficial do governo do Brasil inclui até mesmo um trecho em inglês respondendo exatamente isso pergunta:
Take note that the Brazilian visa will never be granted in Brazilian territory. Therefore, it is not possible to obtain your visa in airports, ports of entry or any other point of the Brazilian border.
Pode ter sido diferente há algum tempo, mas esta é a informação publicada a partir de hoje, 10 de janeiro de 2017.