Você está certo que o ESTA é apenas para aqueles que entram no Programa de Isenção de Vistos. Como a Bulgária não faz parte do Programa de Isenção de Vistos, você precisará de um visto para transitar nos EUA (a menos que você tenha outra cidadania ou documentos dos quais não esteja falando). Você pode solicitar um visto de trânsito para essa finalidade.
Se você está solicitando um visto na Bulgária, aqui está as informações sobre inscrição local da Embaixada dos EUA em Sofia.
Como americano, vou pedir desculpas. Eu sei que é inconveniente e chato.