Por falta de provas tangíveis de "regras" de nomeação (pelo menos até agora), vou recorrer a exemplos para tentar responder a esta pergunta:
Caso 1: O bastardo é do sexo feminino e se casa com um nobre.
A fêmea toma o nome do homem (se ela escolhe) e assim as crianças tomam o nome do homem.
(atualmente buscando um exemplo disso, o caso mais próximo é Raynald Westerling
prometeu casamento a um bastardo de Lannister, porém o casamento não ocorreu porque, bem Raynald morreu.)
Caso 2: O bastardo é do sexo masculino e se casa com uma mulher nobre.
As crianças levam o nome do pai, que seria o nome bastardo regional.
Isto pode ser ilustrado pelo caso dos Walder Rivers , que se casaram com uma nobre Charlton - seus filhos Aemon e Walda permaneceram ambos Rios
Apesar de manter o nome bastardo, eles podem ter a intenção de manter lembretes de seu status nobre - por exemplo, Walder Rivers tem sua própria variação do brasão de Frey.
Caso 3: Um bastardo nobre se casa com um filho de baixo nascimento.
Agora, se o bastardo de um nobre se casar com um não-nobre, seus filhos ainda terão nomes bastardos, embora tecnicamente não sejam bastardos. A herança do nome bastardo é uma indicação de que ambos são de linhagem nobre, mas não estão na linha para herdar de alguma forma. Este é o caso de Aemon Rivers .
Nos casos 2 e 3, os filhos legítimos podem optar por alterar seu sobrenome para refletir seu status legítimo. Por exemplo, Casa Longwaters é descendente de Jon Waters, um bastardo Targaryen. O filho legítimo de Jon Waters mudou seu sobrenome do nome bastardo herdado de Waters para Longwaters.
Caso 4: O filho da mãe de baixa renda se casa com um filho de baixa natalidade.
Geralmente, pessoas de baixa renda nem se importam com sobrenomes.
Por exemplo, Sor Duncan, o Alto, nem sabe seu próprio nome (embora seu exemplo seja um pouco extremo).
Mas alguns não se incomodam, porque isso não significa nada de qualquer maneira, então ou eles tomam um nome de sua escolha ou não.
P.S .: Todos os bastardos em questão aqui obviamente não foram legitimados.