Acho que você está pensando em Deep Red (1994) :
After a young girl is accidently infected with an alien substance known as "Deep Red", the astonishing results attract the attention of the illustrious scientist Dr. Newmeyer. Disillusioned security expert Joe Keyes must team up with his estranged wife to protect the girl and her mother from the obsessed scientist who will stop at nothing to get what he wants.
Uma citação de esta revisão menciona os nanites sendo chamados de 'Reds', como você lembra:
A group of scientists lead by Dr. Newmeyer (John de Lancie) discovers nanites -- called Reds -- that can cure disease, turn back aging, and even bring back the dead.
Ele também descreve uma garotinha sendo infectada por eles, como você diz:
Unfortunately, Newmeyer is evil, so his chief scientist steals the Deep Red -- the breeder nanite -- and hides it in his eight-year-old daughter.
Este trailer no YouTube também parece coincidir com algumas de suas descrições - começando com a batalha da nave alienígena você menciona.