O bônus se aplica a todas as jogadas de ataque de mágica, seja a fonte de um item mágico ou uma mágica de classe.

Varinha do Mago de Guerra diz:

you gain a bonus to spell attack rolls...

Ele não diz nada sobre o feitiço mesmo tendo que ser lançado ou que o bônus só se aplica a feitiços de classe diferente de algo como o Bastão do Guardião do Pacto que declara especificamente:

you gain a bonus to spell attack rolls and to the saving throw DCs of your warlock spells.

Não importa se você está usando um objeto ou lançando um feitiço, o bônus ainda se aplica.

Sim

Como você nota, a Varinha do Mago da Guerra diz

...you gain a bonus to spell attack rolls...

então, presumivelmente, você ganha este bônus se estiver lançando uma mágica (em oposição a, digamos, ativar um item que lança uma mágica).

A página DMG 141 tem uma seção Ativando um item, subseção Feitiço, que lê

Some magic items allow the user to cast a spell from the item.

e segue listando outras maneiras de você efetivamente conjurar a mágica, mas não usando seu próprio espaço de magia. Esta categoria inclui Staffs que usam seu modificador de habilidade. Para comparação, dê uma olhada nos itens da Palavra de Comando, que simplesmente produzem um efeito sem que ninguém / nada lance um feitiço por si.

Como o texto padrão para uma varinha é

While holding it, you can expend 1 charge to cast the ______ spell from it.

Eu concluo que você está lançando o feitiço (mas a cláusula 'from it' significa que você não está usando seus próprios slots). Já que você está lançando, e o Wand of the War Mage se aplica a qualquer feitiço que você tenha lançado, eu diria que seu bônus é válido.

Por fim, nenhuma das lógicas acima depende de qual tipo de ação você usou para conjurar a mágica. Você pode usar uma ação normal, ação de bônus, reação para conjurar uma mágica diretamente. Você pode usar algum outro método para conjurar uma mágica, como por meio de um item. Você ainda está lançando um feitiço.

O bônus se aplica.

Em primeiro lugar, conforme indicado na resposta do Purple Monkey , o item não especifica a origem do ataque mágico roll como qualificação para o bônus. Então, o bônus aplica-se a todos os testes de ataque, independentemente da origem. O Wand também não diz que você precisa tomar a ação "lançar uma mágica" para obter o benefício. Então, não precisamos nos preocupar com o cenário "usar um item mágico"

Mas e se o espírito da varinha for que ela só funciona em magias lançadas pelo usuário?

Mesmo neste caso, o bônus ainda se aplica, porque a linguagem em todos os feitiços lançados a partir de itens é "você conjura ...", significando que mesmo quando conjurando com um item, ainda é o usuário que está lançando o item soletrar. Este é o raciocínio exato usado em esta resposta para uma pergunta semelhante sobre o uso de habilidades de classe para feitiços lançados através de itens.

Mesmo conselhos sábios sugerem que essa é a postura correta a ser tomada

Existem duas questões relevantes de aconselhamento sábio que ajudam a tirar essa conclusão. Um sobre desvantagens de lançar Wish de um item e uma sobre .