Sauron não se torna invisível porque está acima do mundo material. Ele é dos seres que ajudaram a fazer isso.
Você tem Eru Ilúvatar que se você fosse comparar ao Cristianismo, seria Deus. Você tem os Ainur equivalentes aos anjos para todas as intenções e propósitos. Os Ainur dividiram-se em dois grupos, os Valar (O Maior dos Dois) e o Maia (Os Espíritos Menores). Eu digo que eles podem ser chamados de anjos, mas os Valar podem até se igualar aos deuses gregos.
Sauron é um maia, assim como Gandalf, Saruman, o Balrog, etc. O Anel foi criado por ele como um meio de controlar os outros anéis que ele ofereceu aos Elfos, Homens e Anões. Ele tinha controle total sobre o Um Anel porque ele era seu criador e mestre. Imagino que qualquer Maia tivesse as habilidades ou o know-how para demonstrar alguma forma de controle com o anel, mas a teoria nunca é testada, já que Gandalf tem muito medo de usá-lo. (Só podemos especular que ele era fraco demais para lidar com isso em sua forma humana, mas talvez até Olorin (Gandalf como Maia, não homem) pudesse ter sido corrompido). Também podemos especular que Tom Bombadil, o único potencial Ainur ter vestido o anel além de Sauron, era até um Maia para começar.
Mas Tom Bombadil fez uma pista em uma coisa, e isso é que nem todos os seres foram atraídos por sua corrupção, levando-me pessoalmente a acreditar que ele era o próprio Eru, ou que se Gandalf estivesse em sua verdadeira forma, ele não teria tido problemas com o Anel. Como manifestação do homem, talvez ele fosse mais propenso a ser corrompido. (Um traço que vemos espelhado no fato de que os nazgul foram os únicos a cair corruptos) (Edit: Ah, e também na traição de Saruman)
É claro que minha resposta TL-DR seria a de que, uma vez que você virou as costas ao seu criador, seu irmão Morgoth se foi e dissolveu sua alma em uma possessão material, o que resta para ficar invisível: D