É perfeitamente possível fazer viagens de fim de semana para Roma e Paris a partir de Nice, mas isso não será "orçamento". Ambas as cidades são caras. Se, além disso, você tiver que viajar nos finais de semana (sexta à noite ou no início da manhã de sábado e volta no domingo à noite), as tarifas aéreas e de trem serão altas.
Para Roma, voar será sua melhor aposta. Verifique os sites habituais (por exemplo, Kayak, pesquisa Matrix Airfare, ...). Para Paris, o trem pode ser interessante também. Você pode escolher entre trens de alta velocidade (TGV e IDTGV) e um trem noturno direto. Planejar com antecedência ajudará a manter os custos baixos.
Dadas as distâncias, o compartilhamento de caronas e a carona não são opções para as viagens a Paris e Roma.
As duas discussões seguintes fornecem algumas informações úteis:
Como ir de Nice para Mônaco por transporte público?
Se você tem apenas três finais de semana, pode facilmente gastá-los mais perto de Nice. Há muitas possibilidades, sendo o Monaco um deles ...