Se tudo o que você quer é que a mesa seja segura para as gavetas, eu usaria apenas um cordão de adesivo de construção no topo de cada gaveta. O lado negativo disso é que não será facilmente desmontado mais tarde.
Se você precisar que ele seja removível, eu usaria pequenos cantoneiras e parafusos curtos que normalmente são usados para fixar um balcão nos gabinetes. Uma alternativa para isso, e um pouco mais complicada, é usar parafusos de cabeça esférica e travas de came, estes são comumente usados em móveis do tipo "flat pack", você tem um parafuso que é anexado ao balcão, e isso fica dentro de um buraco no suporte inferior que tem uma came que é girada para puxar o topo com os suportes inferiores.