Embora o USA Today não seja uma instituição do governo, parece que a página oficial corrobora a informação: você não precisa de visto, mas precisa de um passaporte válido.
EUA hoje :
Green card holders visiting the British Virgin Islands are granted entry without visas as long as travelers meet the standard travel requirements. Visitors are allowed into the islands for a month provided the correct documents are shown at a land or sea port of entry: a passport, proof of accommodations on the island such as a hotel reservation and proof of your return journey such as an airline ticket. If you're a green card holder, you'll need to use a passport from your country of origin.
Ênfase minha.
BVI Turismo corrobora um pouco, embora não mencione um green card:
European citizens need a valid passport to enter the British Virgin Islands.