Nos EUA e em grande parte (mas não em todos) da Europa Ocidental, o nome da família do pai é passado para as crianças. Esta é uma tradição que remonta séculos e é (pelo menos onde eu moro) a coisa "esperada" a ser feita.
Assim, assim como Robb Stark não é um Tully (nome de família de sua mãe), Joffrey deveria legalmente ser um Baratheon, não um Lannister.
Em termos de herança, Jaime deve ser o primeiro da fila, seguido por Tyrion. Não tenho certeza de onde Cersei está, já que não sei se as mulheres podem herdar. Se ela não puder, eu esperaria que as terras / dinheiro / o que você passar para seus filhos, mesmo que eles não sejam Lannisters, já que eles são descendentes deles. Assim como o trono de Ferro foi para Joffrey em vez de Stannis ou Renly, os filhos parecem ter precedência sobre os irmãos neste sistema político.