Sou cidadão britânico e visitei a Rússia, a Turquia e a Geórgia recentemente (só retornei da Geórgia há duas semanas - pela Turquia).
É seguro visitar Istambul (além dos riscos habituais associados a ser turista em uma cidade desconhecida) e é seguro visitar Moscou. Se você quiser visitar os dois em uma viagem, eu recomendo strongmente que você voe entre Istambul e Moscou. O voo dura cerca de 3 horas e há vários voos por dia, operados por companhias aéreas turcas e russas.
A Geórgia só seria uma preocupação se você quiser viajar da Turquia para a Rússia por terra, no entanto, a partir de Istambul você teria que dirigir para o leste ao redor do Mar Negro, atravessar para o norte na Geórgia, atravessar a Geórgia e entrar na Rússia. Então é todo o caminho para o norte até Moscou - ao todo, você está olhando para cerca de 3.000 km na estrada.Outra opção seria viajar de balsa marítima de Istambul para Odesa, Ucrânia ou Varna, Bulgária - e depois seguir para o nordeste na Rússia. Isso levaria um bom tempo também.
Você não especificou nenhum de seus detalhes: quer chegar rapidamente entre as duas cidades? Você quer ver muito no seu caminho? Você quer visitar outros países enquanto está nessa? Tudo isso levaria em consideração seu itinerário.
Se, no entanto, tudo que você está interessado é Istambul e Moscou, então apenas voe. Além de ser muito rápido, também é provável que seja a opção mais barata.
Note que com um passaporte do Reino Unido, na Turquia você pode obter visto na chegada, você não precisa de visto para a Ucrânia ou a Geórgia - e você tem que solicitar o visto para a Rússia com antecedência. Na Rússia, o visto na chegada não está disponível.