Existem histórias sobre um personagem parecido com o Batman no Universo Marvel?

Por que sim, sim:

A piada ou referência ocasional entre universos é comum. O mesmo acontece DC para Marvel.

Destaca-se que tanto os universos principais da Marvel como da DC existem dentro do multiverso do outro (não tenho certeza sobre o New 52). A Marvel Comics e a DC Comics existem no Universo Marvel como empresas reais, sendo a primeira legal, recontagens licenciadas de eventos da Marvel (Like Inception) e a segunda uma empresa de quadrinhos normal. Além de cruzamentos no universo, Clark Kent e Lois parecem ser um repórter real (provavelmente humano normal).

No passado, lembro-me de ler um cross-over com o Batman e o Homem-Aranha.

Então, depois de algumas pesquisas, encontrei o comic:

link

Embora não seja exatamente o que você está perguntando, eu seria negligente se não mencionasse o Esquadrão Supremo. Eles são essencialmente uma versão da Marvel da Liga da Justiça de DC:

• Hyperion - Superman
• Nighthawk - Batman
• Power Princess - Mulher Maravilha

e assim por diante. Muitos de seus vilões são similarmente imitando os vilões da Liga da Justiça. Eles não são nativos da linha principal da continuidade da Terra-616, eles são da Terra-712 (ou pelo menos a versão mais comum deles é, revistas em quadrinhos são malucas ), mas eles são frequentemente interagindo com outros universos no multiverso da Marvel. Por exemplo, há um Hyperion no livro Avengers que acabou de terminar recentemente quando Secret Wars começou.