Por que os Starks mataram esse personagem por julgamento, e não simplesmente por Arya fazer isso em segredo?

O roteiro oficial do episódio foi lançado e compartilha algumas informações interessantes sobre o julgamento. A principal coisa é que todos na sala aparentemente já sabiam que o julgamento era para Littlefinger, não para Arya.

SANSA: How do you answer these charges, Lord Baelish?

Littlefinger stiffens, as everyone in the room looks at him.

Everyone else is in on it. For once, Littlefinger is the man on the outside.

As if caught in a bad dream, he cannot speak for a moment

_{Game of Thrones, Season 7 Episode 7, "The Dragon and the Wolf"}

Ao fazê-lo no julgamento, expõem o Littlefinger por quem ele era para todos, não apenas para aqueles que já o conheciam. Embora, para ser justo, a maioria das pessoas já soubesse e as que não o foram, antes do julgamento, de acordo com o roteiro oficial.

O que eles podem ganhar fazendo isso em segredo?

• Vale? Eles já têm seu apoio com ou sem Littlefinger por serem primos. Lorde Royce parece apoiar os Starks e com o Mindinho desaparecido, ele provavelmente se tornará o Lorde Protetor até Robin chegar à maioridade.
• Contatos de Littlefinger? Como eles vão saber agora? Depois que alguém morre, você não aprende magicamente tudo sobre eles.
• Influência? Eles já são a família dominante no Norte e essencialmente o Vale, de que outra influência eles precisam?

O que eles podem perder ao fazer isso em segredo? Confiança, poder, suporte, etc.

Outro bom ponto levantado por @ Odin1806 é:

In addition they also show that the Starks are a unified front once again. While some may have believed (and rightly so) that the house Stark was in shambles holding a trial and making everything public shows that the Starks are all home, they are back on top, and they are not to be trifled with.

Por que Arya não levou o rosto de Lord Baelish, bem, não sabemos se ela fez ou não. Para todos nós sabemos que ela e Sansa estão se divertindo muito com isso.

1. Os Stark's são conhecidos por sua honra, eu duvido que qualquer um deles teria considerado isso uma opção.

2. Existem 2 pessoas que Robin Arryn (atual Lord do Vale) confia em Westeros. Yohn Royce e Sansa Stark. E como todos mostraram, Robin é muito fácil de manipular, então, em essência, eles já controlam o Vale. (Yohn estava presente na execução de Littlefinger.)

3. Ao declarar para a Casa Stark durante a Batalha dos Bastardos, Mindinho queimou muitas de suas pontes e se revelou ao mundo como um intrigante enganador. Seu nome não teria o mesmo peso depois disso.

Os Starks não mataram Lord Baelish por julgamento. Eles basicamente "apenas deixaram Arya fazer isso" - eles apenas fizeram uma execução sofisticada.

Finalmente, Baelish não foi oferecido por combate.

_{(*) - Bran é um garoto aleijado que nunca esteve em King's Landing nem o Vale, tem visões estranhas e nega que ele seja realmente Brandon Stark. Então, podemos através desse testemunho de distância. Arya - ignorando-a como uma assassina em massa psicótica, ela não era testemunha de nada relevante. A carta endereçada a Catelyn Stark - não pode realmente estar à mão. Catelyn a obteve e certamente não a enviou para Winterfell para arquivamento (acho que ela a destruiu?) Finalmente, Sansa já deu o testemunho contrário de sua acusação - ou seja, que Baelish não matou Lysa. Mesmo argumentar o contrário faz dela uma testemunha totalmente indigna de confiança.}