Na sua pergunta, há alguns erros, então eu gostaria de corrigi-los primeiro.

Primeiramente, Jornada nas Estrelas: A Série Original , que apresentou Kirk e Spock, foi enviada em uma missão cinco ano, não em um três ano missão.

In 2265, the Enterprise was assigned to a five-year mission of deep-space exploration, and command passed to James T. Kirk. The ship's primary goal during this mission was to seek out and contact alien life. Captain Kirk's standing orders also included the investigation of all quasars and quasar-like phenomena.

( Fonte )

Em segundo lugar, não foi a primeira missão de cinco anos para a Enterprise , muito menos para a Federação. Antes de Kirk, a Enterprise também foi comandada pelo capitão Robert April e pelo capitão Christopher Pike.

Em terceiro lugar, o Enterprise não possuía o que era considerado "novo" tecnologia de dobra; a Warp Drive foi inventada no século 21 com seu primeiro vôo em 5 de abril de 2063 .

Agora, para sua pergunta sobre Kirk saber de Archer. Parece que na linha do tempo original (ou seja, A Série Original ) não há referência sobre o Memória Beta ou Alfa páginas sobre Kirk e Archer estando em contato um com o outro. Presumivelmente, vendo como Enterprise é definido após TOS , Kirk estava ciente de Archer, mas isso não está confirmado.

No entanto, na realidade alternativa (reinicialização de 2009), sabemos que ele faz . Considere a seguinte citação de Memory Alpha :

He [Kirk] quickly learned that Scott was wiser than he lead on, after first impressions belied the fact that he had begun to postulate the theory of transwarp beaming while still on active duty (misplacing Admiral Archer's beagle Porthos in the process, earning his isolation to Delta Vega).

Quanto à realidade principal (a de TOS ), considere a seguinte citação sobre Archer:

Considered by historian John Gill, as the "greatest explorer of the 22nd century," Archer is widely credited with saving Earth from the Xindi and paving the way for the founding of the United Federation of Planets. He went on to become one of the Federation's earliest presidents. (ENT: "In a Mirror, Darkly, Part II")

A menos que Kirk seja completamente ignorante da Federação, e muito menos da Terra, a história, ele saberia de Archer.

TNG implica que Archer é para a Federação o que George Washington é para os Estados Unidos, ou Charles de Gaulle é para os franceses. Por exemplo, Troi diz que o ENT finale Estas são as Viagens ...

TROI: Oh, [Archer will] be fine. I had to memorise this speech in grammar school. You wish you could tell them all that this alliance will give birth to the Federation.

Concedido, Kirk foi apenas 100 anos afastado, enquanto Riker e Troi estavam cerca de 200 anos fora, mas ainda é lógico que Archer já havia passado para a lenda no momento em que TOS começou. Se eles estão tendo crianças em idade escolar memorizando o discurso de Archer no século 23, é seguro dizer que ele é um grande negócio.

Na promoção antes do piloto da Enterprise, Broken Bow, foi dito que seria comandado pelo capitão Jonathan Archer, que James Tiberius Kirk idolatrava em sua juventude.

Quando um cientista chamado Ketteract que está experimentando a Omega Molecule fica em silêncio e o mesmo Vulcan T'urell da era de Archer é avistado na estação de pesquisa Ketteract pelo Almirante Kirk na década de 2290, ele afirma na voz de Shatner que "Turell's O passado é, no mínimo, questionável, segundo os registros do capitão Archer ". Eu não acredito que isso seja canônico, mas está no enredo de Star Trek Legacy.

No J.J. rebok Kirk conheceu Archer e sabe, gosta de seu cachorro. A razão pela qual Scotty está abandonado em Delta Vega é porque ele usou o beagle "Almirante Archer" em um experimento de transporte. Opa!