Não, você não terá problemas. Não há verificações de passaporte.
Se você voar, passará por uma verificação ID , onde poderá usar seu passaporte. Essa verificação é realizada pela TSA, que não aplica a lei de imigração.
Há histórias na internet, a maioria de 8 ou 9 anos atrás, de agentes da TSA se referindo a estrangeiros para autoridades de imigração para uma verificação de status. Se isso acontecer com você, não há nada para se preocupar já que você está legalmente no país, então você ficará bem.
Se a minha experiência é um guia, isso é muito improvável. Estou viajando internamente com um passaporte estrangeiro há alguns anos sem que ninguém questione meu status de imigrante.
Como indicado em um comentário, minha experiência pode não ser um guia suficiente, já que os passageiros de Porto Rico aparentemente são às vezes checados quanto ao status de imigração. Eu nunca estive em Porto Rico. Para reiterar, no entanto, com seus documentos de imigração válidos, você não precisa se preocupar com nada.