A partir de leituras de feitiços como Arcane Gate e Dimension Door parece que a ideia de um momento instantâneo entre entrar e sair foi simplificada (ou encoberta) para o de simplificar a mecânica do jogo. Os feitiços dizem o que acontece quando você começa a ação de interação e a conclusão dela, não o que acontece entre os dois. Por causa disso, eu concordaria com NathanS na medida em que cabe ao Mestre.

Para oferecer outra ideia para resolução:
 Lendo através de outras fontes como o DMG e o SCAG, vemos que na cosmologia 5e muitos planos diferentes se sobrepõem e ocupam "espaços" similares. Se este cenário se desenrolasse em uma de minhas campanhas, eu diria que depois que o portal fechou, o Bastão Imóvel passaria a existir simultaneamente em ambos os planos, parecendo ter sido cortado pela metade (ou até onde foi empurrado para o portal), mas na verdade ainda uma peça contínua. Isso significa que parte da haste está flutuando em um plano e a outra parte está flutuando em outro. Interagir com o item após o fechamento do portal pode ser feito de duas maneiras:

1. A única maneira de mover ou interagir com a haste seria recriar o cenário que o colocou em primeiro lugar e, em seguida, desativá-lo ou movê-lo
2. Pode ser desativado e movido normalmente, mas somente a parte que está no mesmo plano que a entidade interagente pode ser vista / manipulada / afetada / etc. Aqui a parte da haste no outro plano se moveria em relação ao que está acontecendo do outro lado. Eu não permitiria que ele fosse usado como uma "arma invisível" ou algo semelhante a menos que a criatura que está sendo usada contra também exista em ambos os planos simultaneamente

Observando a descrição dos feitiços 5e que abrem portais para outros planos, como a conjuração de 9º nível Gate :

The portal has a front and a back on each plane where it appears. Travel through the portal is possible only by moving through its front. Anything that does so is instantly transported to the other plane, appearing in the unoccupied space nearest to the portal.

É evidente que os objetos não podem ficar dentro da abertura do portal. Um Rod Imóvel acabaria do mesmo jeito. Você teria que posicionar o Immovable Rod inicialmente colocando-o no portal antes de apertar o botão, mas o portal não lhe daria a chance de fazê-lo e transportaria imediatamente o Immovable Rod (e possivelmente você) para o avião do outro lado.

Até o DM

Então, se você é o mestre, cabe a você. Uma vez que tal interação não é especificada na descrição do Immovable Rod no DMG, não há orientação oficial sobre isso, então o Mestre terá que determinar o resultado mais plausível de acordo com como ele acredita que a situação deve se desenrolar.

Considere o Bag of Holding (DMG na página 154, onde certas interações são esperadas:

Placing a bag of holding inside an extradimensional space ... instantly destroys both items and opens a gate to the Astral Plane.

Se houvesse um resultado pretendido específico, você esperaria encontrar um texto semelhante sob a entrada Immovable Rod, mas não há, então é realmente responsabilidade do DM.

O fato de você já ter listado algumas ideias implica que você é o mestre, e o fato de você ter especificado que uma de suas ideias é a sua favorita, provavelmente é aquela que você deve usar se for o mestre. mas outro DM pode decidir de forma diferente e tudo bem também.