Vamos examinar o PHB antes de chegarmos a uma resposta:

PHB 190:

Other Activity on Your Turn

You can also interact with one object or feature of the environment for free, during either your move or your action. For example, you could open a door during your move as you stride toward a foe, or you could draw your weapon as part of the same action you use to attack.
...
If you want to interact with a second object, you need to use your action.

PHB 190:

Moving between Attacks

If you take an action that includes more than one weapon attack, you can break up your movement even further by moving between those attacks.

Mesclando-os juntos, podemos dizer que

Não, você não precisa usar a mesma arma ao fazer um ataque com o recurso Extra Attack

Mas, devido à forma como o Free Interactions funciona, há limitações em como você pode usar cada objeto, especialmente ao usar esses objetos, o que exige que você desmanche ou esconda algo. Você não pode fazer um ataque (primeiro ataque em Ação de Ataque), embainhar a arma (interação livre), sacar outra arma (segunda interação livre) e atacar com ela (segundo ataque na Ação de Ataque). Isso levaria duas interações livres e, como dito acima interagindo com um segundo objeto, consumiria uma ação.

Dessa forma, você pode jogar um Handaxe em um goblin (primeiro ataque em uma Ação de Ataque), subir para o pobre rapaz - que agora presumivelmente tem um machado saindo de sua cabeça (movimento) e então, desenhando sua espada (Interação livre), ataque-o com ele (segundo ataque na Ação de Ataque.

OU

Como apontado nos comentários, você poderia estar segurando (não usando!) as duas armas em cada mão, atacar com uma, embainhá-la e atacar com a outra arma usando a mesma mão.

É importante, no entanto, que isso seja diferenciado do Combate com Duas Armas

O combate com duas armas é regido por regras diferentes encontradas na página 195 do PHB. Há limites para a luta com Duas Armas, como exigir uma Ação Bônus e usar apenas armas leves. Se você estiver usando um Handaxe e Shortsword (ambos leves), você pode usar o Shortsword para atacar duas vezes, em seguida, jogue o seu Handaxe com sua Ação Bônus!

TL; DR

Não, sim

Os detalhes

Se você esclarecer sua terminologia, sua pergunta será respondida. Não há "ação de ataque extra" - há a "Ação de Ataque" e há "ataques". A Ação de Ataque permite que você faça um ou mais ataques, mas há outras circunstâncias (Ação de Bônus e Reação) nas quais você pode atacar.

Aqui está o que o livro diz sobre a Ação de Ataque (PHB p. 102):

Attack

The most common action to take in combat is the Attack action, whether you are swinging a sword, firing an arrow from a bow, or brawling with your fists.

With this action, you make one melee or ranged attack. See the “Making an Attack” section for the rules that govern attacks.

Certain features, such as the Extra Attack feature of the fighter, allow you to make more than one attack with this action.

E isso é o que começa a dizer sobre ataques (PHB pp. 103-5):

Making an Attack

Whether you’re striking with a melee weapon, firing a weapon at range, or making an attack roll as part of a spell, an attack has a simple structure.

... e continua e continua.

Quando você joga os dados para bater você está fazendo um ataque. Há também coisas que podem substituir um ataque durante a Ação de Ataque, por exemplo, Shoving e Grappling (p. 195).

Se você tomar a ação de ataque, se quiser, cada um de seus ataques pode estar com uma arma diferente ou usar várias armas e Grapple ou até várias armas e Grapple e Shove se você tiver ataques suficientes (mas não duas garras) ou dois Shoves).

Por exemplo, um lutador de 20º nível (4 ataques) já segurando uma palavra-chave pode com a ação Attack:

1. Empurrar uma criatura (ataque n ° 1)
2. Desenhe seu punhal (interaja com um objeto)
3. Use sua palavra-chave (Ataque nº 2)
4. Use seu punhal (ataque n ° 3)
5. Use sua palavra-chave (Ataque nº 4)
6. Duas brigas de armas com sua adaga (ação bônus)

Sim

Não há razão para que uma entidade precise tomar qualquer ação ou interação extra para fazer ataques separados com armas em mãos diferentes, de acordo com os múltiplos ataques concedidos sob uma ação de Ataque que se beneficia do Ataque Extra. As Regras Conforme Escrito não requerem nem que os ataques venham da mesma arma ou mão, nem que um ataque feito com uma arma em ambas as mãos é inerentemente superior ou inferior. É um erro comum ler no 5e. rege a idéia de "lateralidade" ou de uma dicotomia entre mãos e mãos. No entanto, em nenhum lugar nas regras de ataque é essa dicotomia consagrada.

A natureza dos ataques após o recurso Extra Attack

Para seguir a cadeia de regras e restrições ao contrário:

Extra Attack

... you can attack twice, instead of once, whenever you make the Attack action on your turn.

Attack

... With this action, you make one melee or ranged attack. See the "Making an Attack" section for the rules that govern attacks.

A seção "Fazendo um ataque" continua detalhando os diferentes tipos de ataques e seus procedimentos, mas não faz referência à seleção de uma arma como tendo qualquer efeito duradouro além de determinar o tipo de ataque e os modificadores relevantes . Isso quer dizer que os ataques são totalmente separados , não afetados de nenhuma maneira. A passagem mais próxima para o efeito de que há uma dicotomia entre mãos e mãos é nas regras para o Combate com Duas Armas.

Por que a luta de duas armas não implica "lateralidade"

Two-Weapon Fighting

When you take the Attack action and attack with a light melee weapon that you're holding in one hand, you can use a bonus action to attack with a different light melee weapon that you're holding in the other hand. You don't add your ability modifier to the damage of the bonus attack, unless that modifier is negative.

A seção Combate com Duas Armas descreve uma condição que permite um ataque adicional usando uma ação de bônus, contanto que o ataque desencadeador

1. ocorre durante uma ação de ataque e
2. é feito com uma arma leve (como corpo a corpo ou jogado),

e o ataque de ação bônus

1. deve ser feito com outra arma corpo-a-corpo leve em uma mão diferente daquela que segura a arma usada no ataque de disparo, e
2. não pode beneficiar do modificador de habilidade relevante.

Como está escrito, não se nota a impossibilidade de, de outra forma, atacar com armas em mãos diferentes. Em vez disso, descreve a condição que permite o uso da ação de bônus . Além disso, as Regras como Escritas permitem que qualquer uma das mãos seja a fonte do ataque desencadeador, e que ambas sejam a fonte em vários turnos, minando a idéia de "lateralidade".

Para ilustrar, um personagem empunhando um taco em uma mão e uma foice na outra pode tomar a ação de Ataque e atacar com o taco, permitindo que eles façam um ataque de ação bônus com a foice. Para aquele ataque de ação bônus, a foice não se beneficiará do modificador de força daquele personagem, dando credibilidade à idéia de um ataque "fora da mão". No entanto, se, no turno seguinte, eles escolhessem atacar primeiro com a foice, então se beneficiariam totalmente do modificador de força do personagem, e se eles ainda fizessem o ataque de ação de bônus permitido com o clube, o clube então não se beneficiaria. , apesar de que as armas não mudaram de mãos .

Compare isso com o Extra Attack, que não tem tais advertências. Seguindo a mesma analogia de modelagem, o Extra Attack simplesmente reflete uma maior distribuição de energia, distribuída de maneira similar, seja total ou parcialmente.

(Nota: mesmo se incluindo proezas, a parte dois do Dual Wielder só modifica as condições para habilitar e usar a ação de bônus, mecanicamente falando.)

Conclusão

Como não há nenhuma parte das regras que exija que ataques separados após uma única ação de Ataque precisam ser da mesma mão ou arma ou que haja alguma diferença entre mãos com relação a ataques, não há razão para que personagem segurando duas armas que ambos não possuem a propriedade Duas Mãos não pode usar cada uma delas em pleno efeito durante uma ação de Ataque em ataques separados após o recurso Extra Attack.