How can we reach Stuttgart during the night and at a reasonable price?
Você não pode (a menos que alugue um carro). Esse aeroporto fica a 70 km de Düsseldorf, no meio do nada, e chamando-o de "aeroporto de Düsseldorf Weeze" é basicamente propaganda enganosa.
Existe um serviço de transporte gratuito para as estações ferroviárias próximas Weeze e Kevelaer, e um autocarro para a estação principal de Düsseldorf por 14 EUR, mas apenas um comboio para Estugarda (às 2:47, com fácil perder ligações) até ao próximo manhã. Veja link para detalhes.
Minha sugestão seria passar uma noite no albergue do aeroporto e fazer o seu caminho em direção a Stuttgart no seu dia seguinte. No entanto, um orçamento de 30 euros por pessoa para chegar a Stuttgart só é possível se você usar o Quer-Durchs-Land-Ticket , que é restrito a trens regionais e exige muito chaging trens (5 ou 6 vezes entre Weeze e Stuttgart).