Não necessariamente barato , mas "sala de dia" ou "sala de uso diário" são uma coisa. Às vezes é com outra coisa em mente, mas em torno de um aeroporto, não levantaria nenhuma sobrancelha. Deve pelo menos ser mais barato do que reservar um quarto para a noite (muito menos dois!) E esperando uma reserva para a noite anterior permitir-lhe-ia ficar no final da tarde. Uma desvantagem é que você pode precisar esperar um pouco antes de fazer check-in (é mais rentável para o hotel se vender todos os quartos durante a noite e depois vendê-los novamente para uso diário para que eles não tenham nada disponível às 5h).
Uma pesquisa rápida no google sugere o Hilton oferece isso, por exemplo mas tenho certeza de que deve haver outros.
Alternativamente, você também pode considerar o uso de um saguão de aeroporto, como sugerido por @blackbird. Eles normalmente são abertos para passageiros frequentes ou passageiros de negócios e de primeira classe, mas se esse não for o seu caso, muitas vezes é possível simplesmente pagar para acessar o lounge. Pode parecer um pouco caro para o que você recebe, mas ainda mais barato do que uma ou duas noites de hotel (um passe de um dia para "Admirals Club" lounges é de US $ 59). A maioria tem chuveiros, um espaço tranquilo para tirar um cochilo (não necessariamente uma cama adequada, no entanto), lanches ou bebidas.