Por que exatamente os cães se extinguiram no futuro, enquanto os gatos não o fizeram?
Eles não estão extintos. Você pode ver claramente Dogs no show de animais de estimação no episódio "O dia em que a Terra ficou estúpida".
Infelizmente, não consigo encontrar nenhuma captura de tela, mas este site tem o episódio que você pode assistir por si mesmo.
Eu acho que você pode estar confundindo poodles (uma raça de cachorro) com todos os cães;
Farnsworth: Pine trees have been extinct for 800 years, Fry. Gone the way of the poodle and your primitive notions of modesty. Ah! Brisk!
Como foi observado nas outras respostas, os cães de outras raças aparecem em episódios posteriores.
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