Eu viajei no leste da Turquia no verão passado e também entrei na Turquia na Geórgia.
Em Batumi, você precisa pegar o mini-ônibus na Praça Tbilisi. ( link )
Você precisa encontrar o ônibus que vai para Sarpi (a cidade fronteiriça). Você será deixado no escritório de fronteira.
Passe pelo controle de fronteira.
Por outro lado, os táxis vão levá-lo para Hopa. A primeira cidade na Turquia, de onde você pode começar sua viagem de ônibus pela Turquia.
Passei duas semanas viajando pelo leste da Turquia terminando na Capadócia e de onde peguei o último ônibus para Istambul.
Você pode ver minhas fotos de todos os dias desta viagem aqui: link
Espero que esta informação seja útil para você.