"the burner had been running... even after we had opened the faucet"
Toda vez que você abre uma torneira no sistema, você introduz água fria no aquecedor, necessitando de operação adicional do queimador para levar a água ao ponto de ajuste de temperatura. Quanto mais tempo você corre a água quente, mais fria fica a água do tanque e quanto mais tempo o queimador vai operar para aquecê-lo.
Além disso, as antigas válvulas T & P de aquecedor de água são notórias por gotejamento / vazamento. Você pode precisar substituir a válvula, é fácil.
O fato de você não ter aumentado a pressão e de a temperatura da água estar normal parece indicar um termostato e uma válvula de gás funcionando adequadamente. Teste a temperatura, em seguida, desligue o termostato e veja se há uma resposta correspondente.