Estou supondo que você tenha visto schengen e também visto para entrar na Geórgia. Eu não acho que você precisa de visto de trânsito no aeroporto de Istambul, se você está apenas mudando de avião.
Para responder à sua pergunta se você precisa de visto de trânsito em Istambul: link
Diz lá:
Question: I will be flying to Europe. I know that our aircraft will land in İstanbul. I am not planning to leave the transit lounge. Do I need to get transit visa?
Answer: If you will not leave the transit lounge at the airport you are not required to have transit visa. Otherwise, you have to make visa application to the nearest Turkish Representation. Contact information of the said missions can be reached through www.mfa.gov.tr (Ministry/Turkish Representations).
Além disso, consulte esta página oficial: link
Diz isso:
India: Diplomatic passport holders are exempt from visa for their travels to Turkey up to 90 days. Ordinary, Special and Service passport holders are required to have visa to enter Turkey. Ordinary, Special and Service passport holders with a valid Schengen or OECD member's visa or residence permit may get their single entry e-Visas valid for one month via the website www.evisa.gov.tr, provided that they meet certain conditions.
Se você quiser entrar em istambul, basta solicitar o e-visa online para entrar em istambul. Lembre-se de que você coleta a bagagem APENAS após o controle de passaportes.
Eu também sou portador de passaporte indiano, entrei pelo aeroporto de Istambul várias vezes não precisava de visto de trânsito, para mudar de avião para outro destino dentro do terminal.