O que acontece quando eu tenho uma criatura agarrada e ela morre?

Você não está mais agarrando uma criatura, você está segurando um objeto¹

Regras de luta estão fora; regras de ônus estão dentro.

Para suas perguntas específicas: propenso é uma condição das criaturas² não objetos.
Se você segurar o corpo entre você e o inimigo, ele deve se esconder, você pode movê-lo se puder carregá-lo ou arrastá-lo, de acordo com a opção de oneração que você usar.

notas: ¹ A regra de armas improvisadas indica que um cadáver é um objeto:
Armas improvisadas

Sometimes characters don’t have their weapons and have to attack with whatever is close at hand. An improvised weapon includes any object you can wield in one or two hands, such as broken glass, a table leg, a frying pan, a wagon wheel, or a dead goblin. (Basic Rules, p. 49)

² As condições se aplicam às criaturas (PHB, Apêndice A)

Conditions alter a creature’s capabilities in a variety of ways...

Propenso

• A prone creature’s only movement option is to crawl, unless it stands up and thereby ends the condition.
• The creature has disadvantage on attack rolls.
• An attack roll against the creature has advantage if the attacker is within 5 feet of the creature. Otherwise, the attack roll has disadvantage

Nota: não há referência a objetos nele.

Depende se os cadáveres são apenas objetos ou são ambos objetos e criaturas

Se um cadáver conta como uma criatura é a questão subjacente que precisa ser respondida.

Eu já percebi que isso já tem uma pergunta debatendo essa situação aqui: "Existe algo que seja simultaneamente uma criatura e um objeto?"
A resposta a essa pergunta é efetivamente o que eu argumento nesta resposta.

O que sabemos é que também já houve uma pergunta aqui sobre se uma criatura morta conta como um objetoe parece relativamente acordado que a resposta é "sim".
Felizmente, KorvinStarmast apontou em um comentário que existe esta seção da "Armas improvisadas" (ênfase minha):

An improvised weapon includes any object you can wield in one or two hands, such as broken glass, a table leg, a frying pan, a wagon wheel, or a dead goblin.

Afirma que armas improvisadas deve ser objetos, e depois diz que um duende morto pode ser uma arma improvisada. Assim, criaturas mortas são finalmente objetos definitivamente considerados.

Também sabemos que é intenção do designer fazer com que os cadáveres sejam considerados objetos e não criaturas dos tweets agora não oficiais de Jeremy Crawford, como este:

A non-undead corpse isn't considered a creature. It's effectively an object.

E este:

A corpse is an object. An unconscious creature is a creature.

Mas fora da intenção do designer, seja uma criatura morta (um cadáver) tb conta como uma criatura é mais complicada ...

Primeiro vou explicar por que a resposta para isso importa.

Por que importa se um cadáver é uma criatura ou não

Debaixo "Grappling", afirma (ênfase minha):

When you want to grab a creature or wrestle with it, you can use the Attack action to make a special melee attack, a grapple.

Assim, podemos concluir que pelo menos iniciando uma garra só funciona contra uma criatura, mas não contra um objeto.

No entanto, acredito que os requisitos para iniciar uma garra são necessários todo uma garra. Isso ocorre porque, se não existissem, haveria várias esquisitices, mas a mais aparente seria que você poderia manter uma garra sem ter uma mão livre.

Nunca se afirma que você precisa de uma mão livre para manter uma garra, apenas a necessária para iniciar a garra. Eu concordo com esta resposta explicando que você do precisa de uma mão livre para manter uma garra.

Isso significa que, se um cadáver fosse uma criatura, você poderia continuar agarrando-a; caso contrário, você estaria tentando carregá-lo / segurá-lo e, portanto, as regras sobre "Levantar / transportar" ou as regras opcionais sobre "Oneração" seria aplicável.

Se um cadáver ainda fosse considerado uma criatura, você continuaria agarrando-o e todos os efeitos que o acompanham se aplicariam. Estes incluem pelo menos o seguinte (do "Grappling" seção):

When you move, you can drag or carry the grappled creature with you, but your speed is halved, unless the creature is two or more sizes smaller than you.

As a resposta vinculada acima explica, você precisa de uma mão livre para manter uma garra e, portanto, não pode fazer coisas como empunhar (atacar com) armas de duas mãos.

Se os cadáveres não fossem considerados criaturas, você provavelmente (até o Mestre) não precisaria de uma mão livre para segurá-lo / carregá-lo.

Existem algumas outras diferenças estranhas que resultariam da condição agarrada, quais Estados:

• A grappled creature's speed becomes 0, and it can't benefit from any bonus to its speed.
• The condition ends if the grappler is incapacitated.
• The condition also ends if an effect removes the grappled creature from the reach of the grappler or grappling effect, such as when a creature is hurled away by the thunderwave spell.

Tudo isso ainda se aplicava ao grappler e ao cadáver. A velocidade do cadáver seria 0 e não poderia se beneficiar de bônus à sua velocidade (isso provavelmente não faz nada).

Você soltaria o cadáver se estivesse incapacitado, o que não seria o caso se um cadáver fosse apenas um objeto, pois a única coisa que faz você soltar objetos está caindo inconsciente, quais Estados:

The creature drops whatever it's holding and falls prone.

Além disso, você não pode trazer o cadáver quando for arremessado, como por onda de trovão o que pode ser possível de outra forma (você não deixa suas armas cair quando é arremessado onda de trovão).

Portanto, no final, temos o seguinte problema geral: Se um cadáver fosse uma criatura, as regras de luta ainda poderiam ser aplicadas.

O que sabemos se um cadáver ainda é uma criatura

Existem feitiços como reviver cuja descrição diz:

You touch a creature that has died within the last minute...

Ou feitiços como ressurreição cuja descrição diz:

You touch a dead creature...

O problema é que, se um cadáver fosse um objeto, você poderia dizer que esses feitiços não funcionam porque atacam criaturas e, portanto, os cadáveres devem ser criaturas, porque claramente esses feitiços funcionam.

Eu acredito que a redação de ressurreição e feitiços semelhantes mostram que os cadáveres ainda são criaturas, mas pode-se argumentar que não:

Você poderia dizer que "uma criatura morta" e "uma criatura que morreu no último minuto" são na verdade as descrições dos objetos - que "uma criatura morta" não precisa be uma criatura. (Coisas semelhantes existem, como que uma "garrafa vazia de ketchup" não é realmente uma garrafa de ketchup; é apenas uma garrafa vazia, que geralmente contém ketchup.) Isso permitiria que os cadáveres fossem apenas objetos e não simultaneamente criaturas.

Eu acredito que este seja um argumento bastante fraco de que os feitiços não estão direcionando criaturas, mas objetos com "criatura" em seu nome / descrição. Existem feitiços (como clonar) que segmentam "Criaturas médias", mas eu não chamaria de "criaturas médias" apenas porque existe um adjetivo lá.

Se cadáveres (criaturas mortas) forem ambos criaturas e objetos, então não há uma maneira real de determinar qual conjunto de regras usar: agarrar ou carregar. Caberia ao Mestre nessa situação.

Eu acredito que algo poderia ser ambos uma criatura e um objeto, porque nada nas regras, tanto quanto eu sei, diz que isso é impossível. Também já existem algumas coisas que são nem uma criatura nem um objeto, como o Totem Espiritual do Círculo do Druida-Pastor, cuja descrição afirma:

It counts as neither a creature nor an object...

Não sabemos se um cadáver conta como criatura, mas sabemos que conta como um objeto.