Can we: Travel to the US with the current passport.
Depende de qual é o país dos seus passaportes. Os EUA exigem que os imigrantes não imigrantes tenham um passaporte válido por 6 meses após o final da duração prevista da estadia. Isso significa que eles lhe darão uma duração de permanência que termina no máximo 6 meses antes do vencimento do seu passaporte, e se o seu passaporte estiver a menos de 6 meses de expiração, isso significa que você não pode entrar.
No entanto, os EUA têm acordos com muitos países onde esses países concordam em aceitar seu passaporte para retorno por até 6 meses após o vencimento do passaporte. Para portadores de passaporte desses países, os EUA darão uma duração de permanência que termina até o vencimento do passaporte e você poderá entrar contanto que o passaporte não seja expirado. Para obter uma lista desses países, consulte aqui .
Observe que, mesmo que você possa entrar, se o seu passaporte estiver prestes a expirar, a duração da permanência na sua I-94 provavelmente será limitada pela expiração do passaporte e não durará a duração total da petição H1b. Nesse caso, depois de renovar seu passaporte (nos EUA), você deve pedir ao CBP para ajustar a data no seu I-94 para que você não caia do status.
Can we: Renew the passport but show the visa in the old one.
Sim, desde que ambos os passaportes sejam do mesmo país e do mesmo tipo de passaporte (ou seja, ambos os passaportes comuns, ou ambos os passaportes oficiais, etc.).
Can we: Renew passport and try to get the H4 stamped before we travel (really not sure we have time).
Não há necessidade, pois o seu visto atual não expirou.