O truque geral para calcular essas probabilidades é que a probabilidade de rolar um resultado que corresponda a algum critério é igual ao número de possíveis rolagens correspondentes, dividido pelo número total de rolagens possíveis.
(Por "rolagem", aqui, queremos dizer uma sequência de números obtida rolando um certo número (por exemplo, 6) de um determinado tipo de dado justo (por exemplo, d6) em sequência. A característica importante aqui é que cada uma dessas rolagens, por si só , é igualmente provável, razão pela qual a fórmula simples acima funciona. não todos igualmente gostamos, teríamos que recorrer a matemáticas mais complicadas.)
Para 6d6, o número total de possíveis rolagens é \ $ 6 ^ 6 \ $ = 46,656. (De maneira mais geral, para NdX, o número total de rolagens possíveis é \ $ X ^ N \ $.) Em seguida, precisamos descobrir de quantas maneiras podemos rolar cada um dos resultados nos quais estamos interessados.
Straights
Por exemplo, vejamos as retas primeiro. Um straight no 6d6 obviamente consiste nos números 1, 2, 3, 4, 5 e 6, em qualquer ordem. Quantas maneiras existem para encomendá-las?
Bem, imagine que temos seis dados, cada um mostrando um dos números de 1 a 6, e seis posições marcadas de 1 a 6 na mesa em que queremos colocar os dados. Para a primeira posição, podemos escolher qualquer um dos dados, então temos opções 6 lá; para a segunda posição, temos apenas cinco dados restantes; portanto, o número de escolhas possíveis que podemos fazer para o segundo dado é 5, fornecendo um total de escolhas possíveis para 6 × 5 = 30 para os dois primeiros dados.
Continuando dessa maneira, descobrimos que o número total de ordens diferentes em que podemos definir os seis dados distintos é \ $ 6 \ times 5 \ times 4 \ times 3 \ times 2 \ times 1 \ times 720 = XNUMX \ $. (Os matemáticos têm um nome específico e uma notação para esses produtos, porque eles aparecem com frequência na matemática: eles os chamam fatoriaise escreva-os colocando um ponto de exclamação após o limite superior, como no 6! = 720.) Assim, a probabilidade de rolar um straight no 6d6 é 6! de \ $ 6 ^ 6 \ $ ou \ $ 720 \ div 46,656 \ approx 0.0154 = 1.54 \% \ $.
(Para retas menores do que os dados 6, as coisas ficam mais complicadas; veja os resultados do computador abaixo.)
\ $ n \ $ de um tipo
Que tal um tipo de \ $ n \ $? Bem, é bastante óbvio que existem exatamente seis maneiras de criar um tipo de 6 - todos os 1, todos os 2, todos os 3, todos os 4, todos os 5 ou todos os 6. Portanto, a probabilidade de rolar seis de um tipo é \ $ 6 \ div 6 ^ 6 \ approx 0.00013 = 0.013 \% \ $. Esse é o tipo mais raro de combinação que você pode obter.
5 de um tipo
Para cinco do mesmo tipo, temos claramente seis opções para o número que ocorre cinco vezes e cinco para o único rolo incompatível (ou vice-versa; não importa realmente como você os conta, pois o resultado é o mesmo ), para um total de \ $ 6 \ times 5 = 30 \ $ possibilidades. Mas já que estamos considerando ordenado rolos de dados (o que devemos fazer para garantir que todos os testes sejam igualmente prováveis), também temos seis opções para a posição do dado incompatível na sequência, fornecendo um total de maneiras \ $ 30 \ times 6 = 180 \ $ para rolar 5 do tipo em 6d6 e, portanto, uma probabilidade de \ $ 180 \ div 6 ^ 6 \ approx 0.00386 = 0.386 \% \ $.
4 de um tipo
Que tal quatro do mesmo tipo? Novamente, temos seis opções para os dados correspondentes, mas agora há mais possibilidades para os dados incompatíveis. Poderíamos considerar os casos em que os dois dados incompatíveis são iguais ou diferentes separadamente, mas isso rapidamente se torna um pouco complicado.
A maneira mais fácil aqui é primeiro atribua os dois dados incompatíveis em posições específicas na sequência; podemos colocar o primeiro em qualquer uma das posições 6 e o segundo em qualquer uma das 5 restantes, para um total de opções 30 - mas, como ainda não atribuímos valores para esses dados, eles são idênticos e, portanto, precisamos dividir por 2 para evitar contar posições idênticas duas vezes (porque colocar o primeiro dado incompatível na posição 1 e o segundo na posição 2, dá o mesmo resultado que colocar o primeiro na posição 2 e o segundo na posição 1), oferecendo a 15 maneiras de colocar os dados incompatíveis na sequência dos rolos 6.
Feito isso, precisamos apenas escolher valores arbitrários para essas duas jogadas de dados; eles pode seja idêntico, mas nenhum deles pode igualar os quatro dados correspondentes, portanto, temos o total de opções \ $ 5 \ times 5 = 25 \ $ aqui. Juntando isso com as opções 6 para os dados correspondentes, e as maneiras 15 de escolher as posições dos dados incompatíveis, obtemos \ $ 6 \ times 15 \ times 25 = 2,250 \ $ maneiras de rolar 4-a-a- tipo no 6d6, com uma probabilidade de \ $ 2,250 \ div 6 ^ 6 \ approx 0.0482 = 4.82 \% \ $ ou um pouco abaixo de um no 20 - um lote mais provável que o 5.
3 de um tipo
Poderíamos fazer o mesmo para três, mas isso fica ainda mais complicado, principalmente porque agora também é possível rolar dois conjuntos diferentes de três em um único rolo 6d6. Contar as combinações possíveis, de maneira semelhante à anterior, não é realmente difícil como tal, mas fica tedioso e propenso a erros.
...e assim por diante
Felizmente, podemos trapacear e usar um computador! Como existem apenas cerca de mil rolos possíveis para o 47d6, um computador pode percorrer todos eles em uma fração de segundo e contar quantas vezes a matriz mais comum ocorre em cada um deles. Também podemos fazer o mesmo nas retas, contando a sequência mais longa de dados consecutivos lançados:
usando o dice_pool () função auxiliar (que enumera todos os resultados possíveis classificados da rolagem NdX dados e suas respectivas probabilidades) de esta resposta, aqui está um programa Python simples para calcular as probabilidades de vários grupos e retas:
# gerar todos os rolos NdD classificados possíveis e suas probabilidades # consulte http://en.wikipedia.org/wiki/Multinomial_distribution para o fatorial matemático = [1.0] def dice_pool (n, d): para i in range (len (fatorial)) , n + 1): fatorial.append (fatorial [i-1] * i) nom = fatorial [n] / float (d) ** n para rolagem, den em _dice_pool (n, d): rolagem de rendimento, nom / den def _dice_pool (n, d): se d> 1: para i no intervalo (0, n + 1): pair = (d, i) para roll, den em _dice_pool (ni, d-1): yield roll + (par,), den * fatorial [i] else: yield ((d, n),), fatorial [n] # o código de cálculo e de saída real começa aqui grupos = {} retas = {} para rolagem, prob em dice_pool (6, 6): # encontra o maior n-de-um-tipo: maior = max (conta para num, conta em rolo) se o maior não estiver nos grupos: grupos [maior] = grupos 0.0 [maior] + = prob # encontrar reta mais longa: mais longa = comprimento = 0 para num, conte em rolo: se contar> 0: comprimento + = 1 mais: comprimento = 0 se mais longa <comprimento: mais longo = comprimento se for n ot em retas: retas [mais longas] = 0.0 retas [mais longas] + = prob # imprimem resultados para n em grupos: print ("max% d do tipo:% 9.6f %%"% (n, 100 * grupos [n ])) para n em retas: print ("max% d em linha:% 9.6f %%"%% (n, 100 * retas [n]))
E aqui está a saída:
um tipo máximo de 1: 1.543210% máximo de um tipo 2% de um tipo 61.728395% de um tipo 3% de um máximo de 31.507202: um tipo de 4% máximo de um tipo de 4.822531: 5% de um tipo de 0.385802% máximo de um tipo de 6: um de 0.012860% de um máximo de 1 de um tipo: em uma linha: 5.971365% máx. 2 em uma linha: 34.615055% máx. 3 em uma linha: 32.407407% máx. 4 em uma linha: 17.746914% máx. 5 em uma linha: 7.716049% máx. 6 em uma linha: 1.543210%
Observe que esta saída não distingue, por exemplo, dois ou três pares de um único par, ou um triplo e um par de apenas um triplo. Se você conhece algum Python, não seria difícil modificar o programa para verificar também.
Observe também que é realmente muito difícil obter não mais do que um dado de cada tipo (já que isso realmente requer rolar uma sequência perfeita) e também é muito difícil obter não mais do que um em sequência (embora ainda seja muito mais fácil do que obter seis de um tipo, uma vez que, por exemplo, rolar 1,1,3,3,5,5 também conta). Três em uma linha também é apenas um pouco menos provável que duas em uma linha (embora alguns dos rolos contados como três em uma linha pelo programa realmente incluam ambos), mas grupos e retas maiores mostram a tendência de queda esperada em probabilidade, pois o grupo tamanho aumenta.