Entendo que sua escolha em Moscou seja basicamente a Gett, ou a Yandex-Uber. Acho que você precisa de um aplicativo específico para o seu smartphone, o aplicativo Uber provavelmente não funcionará. Yandex tem Minivan, não tenho tanta certeza sobre Gett. Lembre-se de que você precisa de conectividade de dados no seu smartphone para usar qualquer um deles.
Lembro que você está viajando com crianças. Observe que as leis de direção da Rússia exigem que as crianças com mais de 10 anos de idade estejam sempre em cadeiras de criança. Isso também se aplica aos táxis. Muitos táxis possuem uma cadeirinha de criança, e você pode especificar isso ao fazer o pedido de um carro via aplicativo, mas eles provavelmente não teriam mais de uma cadeirinha de criança, além de serviços muito específicos de "táxi infantil". Se você não tiver mais de um filho dessa idade ou nenhum, isso não é motivo de preocupação.