Se assumirmos que você terá que passar pela imigração por algum motivo (o que talvez você não precise fazer de fato) e que os oficiais de imigração do Catar querem que os estrangeiros que partem mostrem o mesmo passaporte que eles usavam quando entraram (o que provavelmente é o caso) a questão se resume a isso:
Do Qatari immigration officers check passports against the manifests of arriving or departing flights?
Se a resposta for não, então você pode usar qualquer um dos passaportes. Se a resposta for sim para voos de chegada, não para voos de partida então você deve usar o passaporte indiano no caminho da Índia para o Reino Unido. Se a resposta for sim para ambos então você pode ter um problema.
No entanto, já voei várias vezes dos EUA para a Bósnia e Herzegovina por meio da União Europeia. Eu sempre mostrei meu passaporte da UE na UE e meu passaporte dos EUA na Bósnia, e nunca foi um problema em nenhum lugar que o outro passaporte fosse o que estava no manifesto. Isso não diz muito sobre o Catar, obviamente, mas mostra que essa verificação não é universal.
Além disso, o Catar não deve se importar muito com seus dois passaportes nem com o status do seu visto no seu destino (isso normalmente é apenas uma preocupação da companhia aérea). Se você mostrar o passaporte indiano na saída, a caminho do Reino Unido, eles provavelmente nem perceberão que você não tem um visto para o Reino Unido. Se o fizerem, você pode explicar que também possui um passaporte português, o qual você usará lá. A menos que o Catar tenha algum acordo diplomático com a Índia, onde se comprometeu a detectar cidadãos indianos que viajam com passaportes de outros países, esse será o fim da questão.
Um outro conselho: uma vez, fiz o check-in de um voo de Nairobi para a UE com meu passaporte da UE. No portão, fomos convidados a mostrar nossos passaportes com nossos cartões de embarque antes de entrar no avião. O agente de segurança pegou meu passaporte e ficou muito preocupado. Percebi que havia entregado a ele meu passaporte americano, então disse: "Eu também tenho esse outro passaporte, se isso faz alguma diferença" e mostrei a ele meu passaporte da UE. Ele imediatamente relaxou e apontou para o adesivo de segurança na parte de trás do passaporte. Seu papel, ao que parece, era verificar não apenas a identidade das pessoas a bordo do avião, mas também o fato de terem recebido o adesivo apropriado na triagem de segurança.
(A propósito, essa viagem começou em Ruanda, onde eu usara meu passaporte americano. Ruanda também não se importava de ter mostrado meu passaporte americano na saída após o check-in do voo de partida usando o passaporte da UE.)
Se você colocar esse adesivo na parte de trás de um passaporte, provavelmente precisará mostrá-lo a outra pessoa em algum momento. Tentar arrancá-lo e colá-lo no outro passaporte provavelmente não é uma boa ideia.