Sua interpretação está correta

Como você observou, Swallow é uma ação que o Sapo Gigante realiza, geralmente durante o seu turno. Como o dano ácido é causado "no início de cada turno do sapo", isso significa que isso só acontecerá no início do próximo turno do sapo e não durante o turno em que o Sapo Gigante usou a Andorinha, como você deduziu corretamente.

Como uma pequena observação sobre a integridade, se o Sapo, por algum motivo, puder usar o Swallow fora de sua vez, por exemplo, usando o Ação pronta, o dano será causado na próxima vez que o sapo fizer uma curva.

Você está certo

O turno do sapo começa (nenhuma criatura engolida, portanto, não causa dano ácido); então, durante o seu turno, engole uma criatura. Então, durante a próxima rodada, tem um turno, esse turno começa e a criatura engolida sofre dano ácido.

Correto

Os efeitos fazem exatamente o que eles dizem que fazem. Existem várias outras criaturas, como a Remorhaz que têm habilidades semelhantes. O dano causado apenas no início do turno é compensado pelo fato de a criatura ser engolida apenas se a parte de ataque do Andorinha ação é bem sucedida. Nesse caso, a criatura sofre dano do ataque naquele turno, é engolida e sofre dano no início de cada turno a partir de então.