Porque ele estava indo para lá como Mão do Rei e dado o seu trabalho, ele seria condenado a sentenciar alguém à morte de vez em quando. E ele acredita que o homem que passa a sentença deve balançar a espada.

Bran had no answer for that. "King Robert has a headsman," he said, uncertainly.

"He does," his father admitted. "As did the Targaryen kings before him. Yet our way is the older way. The blood of the First Men still flows in the veins of the Starks, and we hold to the belief that the man who passes the sentence should swing the sword. If you would take a man's life, you owe it to him to look into his eyes and hear his final words. And if you cannot bear to do that, then perhaps the man does not deserve to die. One day, Bran, you will be Robb's bannerman, holding a keep of your own for your brother and your king, and justice will fall to you. When that day comes, you must take no pleasure in the task, but neither must you look away. A ruler who hides behind paid executioners soon forgets what death is."
_{AGOT: Bran I}

Mas é claro que ele poderia ter usado qualquer espada para se balançar, não precisava ser gelo. Mas curiosamente, os Lordes de Westeros não são tão cuidadosos com suas espadas raras quanto se poderia esperar que eles fossem. O rei Tommen Lannister levou consigo a espada ancestral Brightroar de Lannister para Valyria, embora se esperasse que ele a deixasse em casa. Lord Tarly usa Heartsbane na batalha, onde pode ser levado por um inimigo. Lorde Corbray fez o mesmo.

É provavelmente por causa do prestígio da espada. Foi carregado pela casa Stark por séculos e está entre as espadas as mais famosas dos Westeros. É uma herança da Casa Stark e é transportada exclusivamente pelo Lorde Stark. Robb ainda não era lorde Stark, então não havia sentido em deixá-lo com ele. Deve ser notado, no entanto, Eddard Stark, às vezes, deixava que Robb e Jon lidassem com isso.

When Jon turned it sideways, he could see the ripples in the dark steel where the metal had been folded back on itself again and again. "This is Valyrian steel, my lord," he said wonderingly. His father had let him handle Ice often enough; he knew the look, the feel.
_{AGOT: Jon VIII}

Além disso, Ned não sabia que seu tempo no cargo terminaria tão rapidamente. Jon Arryn serviu para quase a enitria do reinado de Robert e Eddard provavelmente esperava fazer o mesmo.

Eddard finalmente sentenciou alguém à morte (Sor Gregor Clegane), mas dado que sua perna foi ferida após seu encontro com Jaime Lannister, ele delegou a tarefa de balançar a espada para Lorde Beric Dondarrion. Que foi sorte ou azar para ele, Lorde Tywin estava esperando por ele para morder a isca e vir "balançar a espada". Se ele tivesse feito isso, ele teria sido preso e trocado por Tyrion Lannister. Mas por um golpe de sorte ou infortúnio, ele não o fez.

Cabeças rolariam.

O Starks tem uma regra que o homem que passa a sentença deve balançar a espada:

You send hired knives to kill a fourteen-year-old girl and still quibble about honor?" He pushed back his chair and stood. "Do it yourself, Robert. The man who passes the sentence should swing the sword. Look her in the eyes before you kill her. See her tears, hear her last words. You owe her that much at least."
_{A Game of Thrones - Eddard VIII}

Esta é a idéia chave aqui, embora Eddard pudesse ter deixado a espada para Robb passar a sentença, Eddard ainda era o Diretor do Norte e de posição superior a Robb (evidentemente). No entanto, agora como a Mão do Rei, ele certamente teria necessidade da espada, e como tal ele estaria balançando a espada, ao invés de deixar o Mordomo do Rei balançar a espada.

Isso é destacado quando Lady é sacrificada pelo ataque de Nymeria a Joffrey. Note que isso também é uma confirmação de que foi Eddard que o levou para Porto Real e não que foi tirado mais tarde.

"Send for Ilyn Payne."
"No," Ned said. "Jory, take the girls back to their rooms and bring me Ice." The words tasted of bile in his throat, but he forced them out. "If it must be done, I will do it."
Cersei Lannister regarded him suspiciously. "You, Stark? Is this some trick? Why would you do such a thing?"
_{A Game of Thrones - Eddard III}

Eddard realmente teria tido tempo para usá-lo durante seu tempo no cargo, se a morte não tivesse ocorrido de maneira tão inoportuna. Enquanto ele não teria pessoalmente executado Gregor, ele tinha comandado aqueles que ele enviou para executá-lo (graças @Aegon ), ele deu o tom para seu comando posterior sobre sua posição como Mão.

In the name of Robert of the House Baratheon, the First of his Name, King of the Andals and the Rhoynar and the First Men, Lord of the Seven Kingdoms and Protector of the Realm, by the word of Eddard of the House Stark, his Hand, I charge you to ride to the westlands with all haste, to cross the Red Fork of the Trident under the king's flag, and there bring the king's justice to the false knight Gregor Clegane, and to all those who shared in his crimes. I denounce him, and attaint him, and strip him of all rank and titles, of all lands and incomes and holdings, and do sentence him to death. May the gods take pity on his soul
_{A Game of Thrones - Eddard XI}

A espada também era cerimonial, e é provável que Eddard tivesse tido momentos em que precisaria dela.

Asked if Ned ever used Ice in battle. George points out it was a greatsword, very large and cumbersome, a ceremonial sword for beheading people more than a fighting sword...
_{So Spake Martin}