O lançador usa Piscar e aparece no local correspondente no plano etéreo.
Piscar (BR 219):
you vanish from your current plane of existence and appear in the
Ethereal Plane
Plano Etéreo (DMG 48):
The Ethereal Plane is a misty, fog-bound dimension. Its "shores,"
called the Border Ethereal, overlap the Material Plane and the Inner
Planes, so that every location on those planes has a corresponding
location on the Ethereal Plane.
Se o Haste imóvel (BR 175) está ativado, é
magically fixed in place.
este lugar corresponde ao mesmo lugar no plano etéreo no qual você, incluindo sua possessão, aparece.
O que acontece quando o feitiço termina e
you return to an unoccupied space of your choice that you can see
within 10 feet of the space you vanished from.
você escolhe voltar para um local em que o bastão imóvel não está fixo magicamente, não está especificado em nenhuma das regras (D&D 5e) que eu li e estou ciente.
Esta pergunta pressupõe que o Bastão Imóvel está na posse do personagem como parte de seu arnês e que é uma situação embaraçosa.
A categoria de hastes possui proporções definidas (DMG 139):
A scepter or just a heavy cylinder, a magic rod is typically made of metal, wood, or bone. It's about 2 or 3 feet long, 1 inch thick, and 2 to 5 pounds.
Isso dá uma idéia geral de como é improvável que a Haste Imóvel não seja notada ou a praticidade de tecer um arnês com uma Haste Imóvel integrada.
Muito depende se o Mestre decide que o Bastão Imóvel está em sua posse em primeiro lugar, isso também é válido para outros tipos de teletransporte.
Isso leva ao próximo ponto, um item mágico faz o que está em sua descrição.
the rod doesn't move, even if it is defying gravity.
Pode ser movido por um cheque especial
A creature can use an action to make a DC 30 Strength check, moving
the fixed rod up to 10 feet on a success.
e não há linha que impeça a teleportação como meio de deslocar a barra imóvel. Portanto, se você teletransportar o bastão imóvel, ele acaba em um novo espaço onde está:
magically fixed in place. Until you or another creature uses an action
to push the button again, the rod doesn't move, even if it is defying
gravity.
Além disso, não existe uma linha que indique que o bastão imóvel retorna aos lugares onde foi magicamente fixado, seja deslocado ou movido por uma verificação especial. Portanto, ele não retorna para um local onde é magicamente fixo.
Sobre os tipos de movimento, consulte PHB 190, empurrando, arrastando e levantando é coberto no PHB 176.
Se o Mestre decidir que o Imóvel não está em sua posse, ele permanece no local.
Um bastão imóvel inativo não impede o movimento.