Ele é o terceiro na linha de sucessão
Do ponto de vista de Daenerys, Robert Baratheon usurpou o trono. O último rei legítimo foi Aerys II, e seus descendentes são os sucessores legítimos.
Apenas dois descendentes parecem estar vivos:
Jon Snow/Aegon, son of Rhaegar Targaryen and Lyanna Stark, and Daenerys, daughter of Aerys II and Rhaella.
A sucessão segue a lei de primogenitura masculina. Isso significa que o primeiro filho é o herdeiro, depois seus irmãos e depois irmãs. Se o príncipe teve filhos, eles têm uma reivindicação melhor do que seus irmãos.
Pelas leis,
Jon/Aegon has a better claim than Daenerys, but Daenerys is still the rightful ruler while Jon is still Jon Snow and not Aegon Targaryen.
E a afirmação de Gendry?
Rhaelle Targaryen, a avó de Robert Baratheon, era irmã de Jaehaerys II. Se ele ou todos os descendentes de Jaehaerys II morrerem, Rhaelle Targaryen ou seus descendentes se tornarão herdeiros da coroa.
Gendry, being the legitimate son of Robert Baratheon, is also the legitimate great-grandson of Rhaelle Targaryen, and therefore the third in succession line.
O que isso implica?
As long as Jon is still officially Jon Snow and not Aegon Targaryen, Daenerys is the one with the better claim, and until she gets a child, Gendry is her heir.
No entanto, como as outras respostas disseram, ele ainda tem uma reivindicação mais baixa e é legítimo apenas graças à legítima rainha, não faria muito sentido para ele reivindicar o trono enquanto ela ainda está viva.