RAW, eu diria que sim.
Na minha mesa, eu provavelmente seria menos rigoroso e permitiria que um Mestre das Feras treinasse seu companheiro para realizar mais tarefas em combate, com algumas limitações.
Os princípios básicos da interpretação das regras do 5e devem ser aplicados aqui, ou seja, que as coisas fazem o que elas dizem que fazem e não mais. Há uma lista de coisas que um Beastmaster pode ordenar que seu companheiro animal faça, e essa lista é mais curta que a lista de ações que uma criatura genérica pode executar em combate.
Um companheiro animal faz parte de um especializados com seu Beastmaster. O Beastmaster treina o companheiro animal para seguir comandos específicos e, o mais importante, para agir na direção do Beastmaster, e não por conta própria. Portanto, é menos que o companheiro animal não podes faça outras coisas e mais que seu treinamento seja limitado a um conjunto finito de manobras que o companheiro possa entender e executar com segurança em uma situação de combate.
Esse treinamento não é representado no jogo (você realmente não fica incrementalmente "melhor" ao lidar com seu companheiro) e, consequentemente, não há mecanismos para adicionar novas habilidades ao repertório.
Assim, um Mestre das Feras pode direcionar o companheiro e dizer-lhe para atacar ou desviar (comportamentos familiares, atraentes para os Mestre das Feras genéricos, que podem ser praticados repetidamente durante o tempo de inatividade). Mas dar instruções sobre algo mais abstrato pode ser problemático, e mesmo que você possa argumentar plausívelmente para treinar um animal para fazer coisas muito específicas com objetos, a falta de uma mecânica de jogo correspondente torna isso impossível (RAW).
Isso não quer dizer que o apenas o que um companheiro animal pode fazer é obedecer a comandos e, se as dicas normais que recebe de seu Beastmaster não estiverem chegando, ele terá que tomar suas próprias decisões. Um babuíno, lutando para proteger seu amigo incapacitado, pode se atrapalhar com um objeto. Talvez ele agarre uma espada caída, tendo notado que os inimigos estavam cautelosos com o objeto quando seu amigo o segurou. Ou talvez tenha visto alguém usar um Varinha de [alguma coisa]e pode tentar fazê-lo funcionar como eles observaram.
Os comandos para usar esses objetos podem falhar porque exigem compreensão abstrata que o babuíno não possui (como "pegue a espada" provavelmente significaria "pegue a espada pela alça e entre em uma posição razoável", mas isso é demais para transmitir) um <segundo comando do 6).
O perigo:
Se permitir que um Beastmaster continue direcionando pessoalmente seu companheiro (através do jogador), expandir as possíveis ações disponíveis para o companheiro pode ser problemático e abrir algumas explorações. Torna-se muito mais como ter um NPC de backup disponível o tempo todo, e alguns jogadores podem propositalmente incapacitar seus personagens em locais seguros, apenas para ativar as habilidades extras de seus companheiros.
Como exemplos muito básicos, um Beastmaster abatido poderia simplesmente direcionar seu companheiro (agindo nominalmente por conta própria, mas ainda controlado pelo jogador do Beastmaster) para alimentá-lo Poção de Cura (ou similar) para voltar imediatamente. Ou, em uma sala que pode estar repleta de armadilhas, o companheiro pode ser usado para explorar da maneira que normalmente não suporta e arcar com todo o risco enquanto os jogadores ficam na entrada.
Não é necessariamente um grande negócio, e acho que explorações significativas seriam raras e não necessariamente desejáveis. Mas é embaraçoso e não há um caso particularmente forte de que essa tenha sido uma transição intencional (em oposição a um caso extremo inadvertido).
Eu acho que a questão operativa é realmente sobre quem controla o companheiro se o Beastmaster estiver incapacitado. Fazer com que o mestre faça isso resolve todas as contradições embaraçosas sobre o menu expandido de possíveis ações e é provavelmente a maneira mais suave de implementar as regras, conforme escrito sobre esse problema.