Há uma chance de sobrevivência de 59.5125%.
Ingenuamente, poderíamos ter pensado que haveria uma chance de sobrevivência de 55%, uma vez que os resultados de rolo de 55% são bons. Mas o 20 é um resultado um pouco melhor do que o 1 é ruim, então isso aumenta um pouco a probabilidade. Vamos ver como.
A abordagem
A maneira mais simples de resolver isso é examinar as probabilidades de sobreviver de maneiras exclusivas e depois combiná-las. Lembre-se das regras de combinação de probabilidades de vários eventos:
- Se queremos saber a probabilidade de (A or B), quando A e B não se sobrepõem, somamos a probabilidade de A com a probabilidade de B. (Construiremos todos os nossos cenários abaixo sem sobreposição.)
- Se queremos saber a probabilidade de (A e B), multiplicamos a probabilidade de A pela probabilidade de B.
Avaliação
Usaremos um número ou um intervalo de números entre colchetes para indicar a probabilidade desse resultado em um d20. Ou seja, \ $ [4] = \ frac 1 {20} \ $, \ $ [7] = \ frac 1 {20} \ $ e \ $ [10-20] = \ frac {11} {20} \ $. Dessa maneira, geralmente nos preocuparemos com quatro resultados diferentes: \ $ [1] \ $ (\ $ \ frac 1 {20} \ $ chance), \ $ [2-9] \ $ (\ $ \ frac 8 {20} \ $), \ $ [10-19] \ $ (\ $ \ frac {10} {20} \ $) e \ $ [20] \ $ (\ $ \ frac 1 {20} \ $ novamente).
Quando queremos indicar uma sequência específica de rolagens, listamos-as em ordem: \ $ [1] [1-9] \ $ seria lida como "a probabilidade de rolar um 1 e, em seguida, algum número de um dígito. "
Quando queremos indicar uma seleção específica de rolos, mas não se preocupam com a ordem deles* agruparemos os resultados não ordenados entre colchetes. Assim, \ $ \ {[2-9] [10-19] [2-9] \} [20] \ $ seria lida como "a probabilidade de ocorrer duas falhas simples e um sucesso simples em qualquer ordem, seguida por um 20 ".
Maneiras de estabilizar após ...
As probabilidades de estabilizar no primeiro, segundo, terceiro, etc. rolos são exclusivos: pode-se estabilizar no primeiro or no segundo, mas não ambos. Portanto, determinaremos cada uma dessas probabilidades e as resumiremos de acordo com nossa "regra de or" acima.
Rolo 1:
$$ [20] = \ frac 1 {20} $$
Rolos 2:
$$ [1-19] [20] = \ frac {19} {20} \ times \ frac 1 {20} = \ frac {19} {400} $$
Rolos 3:
$$ \ begin {align} [10-19] [10-19] [10-19] = \ frac {10} {20} \ times \ frac {10} {20} \ times \ frac {10} {20 } & = \ frac 1 8 \\ \ text {ou} \ quad \ {[1] [10-19] \} [20] = \ esquerda \ {2 \ vezes \ esquerda (\ frac 1 {20} \ times \ frac {10} {20} \ right) \ right \} \ times \ frac 1 {20} & = \ frac 1 {400} \\ \ text {ou} \ quad [2-19] [2-19] [20] = \ frac {18} {20} \ times \ frac {18} {20} \ times \ frac 1 {20} & = \ frac {81} {2000} \ end {align}
$$ \ left (\ text {total:} \ frac 1 8 + \ frac 1 {400} + \ frac {81} {2000} = \ frac {21} {125} \ right) $$
Rolos 4:
$$ \ begin {align} {{10-19] [10-19] [1-9] \} [10-20] = \ esquerda \ {3 \ vezes \ esquerda (\ frac {10} {20} \ times \ frac {10} {20} \ times \ frac 9 {20} \ right) \ right \} \ times \ frac {11} {20} & = \ frac {297} {1600} \\ \ text { ou} \ quad \ {[2-9] [2-9] [10-19] \} [20] = \ esquerda \ {3 \ vezes \ esquerda (\ frac {8} {20} \ times \ frac { 8} {20} \ times \ frac {10} {20} \ right) \ right \} \ times \ frac {1} {20} & = \ frac {3} {250} \ end {align}
$$ \ left (\ text {total:} \ frac {297} {1600} + \ frac {3} {250} = \ frac {1581} {8000} \ right) $$
Rolos 5:
$$
\{[2-9][2-9][10-19][10-19]\}[10-20]=\left\{6 \times \left(\frac{8}{20} \times \frac{8}{20} \times \frac{10}{20} \times \frac{10}{20}\right)\right\} \times \frac{11}{20}=\frac{33}{250}
$$
Resumindo tudo:
$$ \ frac 1 {20} + \ frac {19} {400} + \ frac {21} {125} + \ frac {1581} {8000} + \ frac {33} {250} = \ frac {4761} {8000} = 0.595125 $$
Bônus por ler até aqui: tempo esperado para recuperação
Com essas probabilidades em mãos, é fácil fornecer um tempo de estabilização esperado para aqueles que se estabilizam:
$$ t_ \ text {stable} = \ dfrac {\ left (\ begin {align} 1 & \ times \ frac 1 {20} \\ + 2 & \ times \ frac {19} {400} \\ + 3 & \ times \ frac {21} {125} \\ + 4 & \ times \ frac {1581} {8000} \\ + 5 & \ times \ frac {33} {250} \ end {align} \ right)} { \ frac {4761} {8000}} = 3.5278 \, \ text {rounds ou aproximadamente 21 seg} $$
* - A ordem é realmente importante. As vezes. Por exemplo, se queremos saber a probabilidade dos dois primeiros lançamentos serem um sucesso e um fracasso, precisamos contar todas as maneiras pelas quais poderíamos obter sucesso. então uma falha e adicione todas as maneiras pelas quais podemos obter uma falha então um sucesso.
Mas alguns de nossos rolos são eventos indistinguíveis, e é aí que fica divertido. Se queremos contar de que maneira nossos três primeiros rolos são duas falhas e um sucesso, temos apenas três ordens que podemos considerar (FFS, FSF, SFF), e não as seis que se pode esperar (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB , CBA).
A contagem de arranjos possíveis de n objetos com multiplicidades \ $ m_1, m_2, \ dots \ $ é \ $ N = \ dfrac {n!} {M_1! \ times m_2! \ times \ pontos} \ $. Veja se você consegue identificar as três vezes que isso aparece!