Normalmente, uma criatura tem apenas um único ataque de oportunidade disponível
Para fazer um ataque de oportunidade, uma criatura precisa usar sua reação para fazê-lo. De regras sobre ataques de oportunidade (ênfase minha):
You can make an opportunity attack when a hostile creature that you can see moves out of your reach. To make the opportunity attack, you use your reaction to make one melee attack against the provoking creature.
E você só recebe sua reação de volta no início do seu turno. As regras sobre reações Estado:
When you take a reaction, you can't take another one until the start of your next turn.
Portanto, normalmente você só tem até um ataque de oportunidade 1 disponível (na verdade, você tem a reação 1 disponível, que pode ser usada em um ataque de oportunidade).
Ter vários ataques de oportunidade disponíveis não necessariamente interage com a mecânica de exaustão
Existem algumas habilidades que permitem ter mais de um ataque de oportunidade disponível, como pode ser encontrado em este Q / A relacionado1. No entanto, mesmo no caso de uma criatura com uma dessas habilidades que é capaz de fazer mais ataques de oportunidade em um único turno, isso não significa que uma criatura ficará exausta, a menos que a habilidade o especifique especificamente.
Isto é porque Exaustão é uma mecânica completamente diferente que geralmente não interage com ataques de oportunidade:
Some special abilities and environmental hazards, such as starvation and the long-term effects of freezing or scorching temperatures, can lead to a special condition called exhaustion.
Em geral, qualquer habilidade ou circunstância que faça com que uma criatura obtenha um nível de exaustão terá que declarar tão especificamente e, até onde eu saiba, nenhuma habilidade que conceda mais ataques de oportunidade menciona exaustão.
Diferenças do D&D 3.5e
Você declarou que começou a tocar há muito tempo, então adicionarei uma pequena nota sobre como este é um desvio do D&D 3.5e que pode estar confundindo você:
No D&D 3.5e, você tinha uma Ação Imediata disponível (que é semelhante à reação do 5e) e os ataques de Oportunidade eram uma coisa separada. No 5e, um ataque do Opportunity usa sua reação em vez de ser um mecânico separado (como mencionado acima), portanto não há necessidade de uma regra que limite ainda mais o número de ataques de oportunidade que se pode fazer.
1. Encontrado por illustro